§1.1 Определение линейного пространства

Часто приходится встречаться с объектами, над которыми производятся операции сложения и умножения на числа. Приведем несколько примеров.

1. В геометрии объектами такого рода являются векторы в трехмерном пространстве, т. е. направленные отрезки. При этом, если два направленных отрезка можно совместить парлельным переносом, то считается, что они определяют один и тот же вектор. Поэтому удобно все эти орезки откладывать от одной какой-либо точки, которую мы будем называть началом координат. Операция сложения веторов, как известно, определяется следующим образом: суммой векторов x и y мы считаем диагональ параллелограмма со сторонами x и y. Известным оразом вводится также умножение на числа.

2. В алгебре мы встречаемся с системами n чисел $x= \xi_1, \xi_2, ... \xi_n$) (например, строки матрицы, совокупность коэффициентов линейной формы и т. д.) Для таких систем операции сложения и умножения на числа обычно определяются так: суммой систем $x= \xi_1, \xi_2, ... \xi_n$) и $y=(\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n)$ называется система $x+y=(\xi_1+\eta_1,\xi_2+\eta_2, ..., \xi_n+\eta_n)$. Произведением системы $x=(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n)$ на число $\lambda$ мы считаем систему $\lambda x=(\lambda\xi_1, \lambda\xi_2, ..., \lambda\xi_n)$

3. В анализе определяются операции сложения функций и умножения их на числа. В дальнейшем мы для определенности будем рассматривать совокупность всех непрерывных функций, заданных на сегменте $[a, b]$.

В приведенных примерах одни и те же операции сложения и умножения на числа производятся над совершенно разными объектами. Для того чтобы изучить все такие примеры с единой точки зрения, мы введем понятие линейного, или аффинного, пространства.

Определение 1. Множество $R$ элементов $x, y, z, ...$ называется линейным (аффинным) пространством, если:
a) каждым двум элементам $x$ и $y$ поставлен в соответствие элемент $z$, называемый суммой элементов $x$ и $y$; сумма элементов $x$ и $y$ обозначается через $x+y$,
b) каждому элементу $x$ и каждому числу $\lambda$ из некоторого поля поставлен в соответствие элемент $\lambda x$, называемый произведением числа $\lambda$ на элемент $x$

Эти операции должны удовлетворять слующим требованиям (аксиомам):

 
1. $1° x+y=y+x$

(коммутативность),
2° $(x+y)+z=x+(y+z)$ (ассоциативность).
3° Существует элемент 0 такой, что $x+0=x$ для любого $x$. Элемент 0 называется нулевым элементом.
4° Для каждого $x$ существует элемент, обозначаемый через $-x$ такой, что $x+(-x)=0.$

2. 1° $1 \cdot x=x$,
   2° $a( \beta x)=a \beta (x).$
3. 1° $(a + \beta) x = x + \beta x $,
   2° a(x+y)=ax+ay$.

Мы не случайно не сказали, как именно определяются операции сложения и умножения на числа. От этих операций требуется только, чтобы были выполнены сформулированные выше аксиомы. Поэтому всякий раз, когда мы встречаемся с операциями, удовлетворяющими перечисленным выше условиям, мы вправе считать их операциями сложения и умножения на числа, а совокупность элементов, для которых эти операции установлены, - линейным пространством.

Предоставляем читателю проверить, что в приведенных примерах 1-3 эти аксиомы выполнены. Поэтому 1-3 являются примерами линейных пространств.

Рассмотрим ещё несколько примеров.

4. Совокупность всех многочленов степени, не превышающей натурального числа $n$, с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа образует линейное пространство.

Заметим, что множество многочленов степени $n$ не образует линейного пространства, так как сумма двух многочленов степени $n$ может оказаться многочленом более низкой степени: например
$$ (t^n+t)+(-t^n+t)=2t $$

5. Элементами пространства $R$ являются матрицы порядка $n$. Суммой матриц $ \| \alpha_{ik} \| $ и $ \| \beta_{ik} \| $ называется матрица $ |\ \alpha_{ik} \| + \| \beta_{ik} \|$, произведением матрицы $ \| \alpha_{ik} \| $ на число $\lambda$ - матрица $|\ \lambda \alpha_{ik} \|$. Нулевым элементом при этом будет матрица, состоящая из одних нулей. Можно проверить, что все аксиомы линейного пространства здесь выполнены.

6. Совокупность всех многочленов степени, не превышающей натурального числа $n$, и имеющих положительные многочлен $ P (x) $ входит в эту совокупность, то - $P(x)$ в нее не входит.

7. Не образует линейного пространства совокупность непрерывных функций на сегменте $[a, b]$ таких, что $|f(x)| ≤ 1$: из того, что $|f_1(x)|≤1$ и $|f_2(x)|≤1$, не следует $|f_1(x)+f_2(x)|≤1$.

Элементы линейного пространства мы будем называть векторами. То обстоятельство, что это слово часто употребляется в более узком смысле (так, как в примере 1), не должно нас смущать. Геометрические представления, связанные с этим словом, помогут нам уяснить, а иногда и предвидеть, ряд результатов.

Если числа $\lambda, \mu_1, ...$ берутся из поля комплексных чисел, то $R$ называется комплексным линейным пространством. .

Более общо, мы можем предполагать, что $\lambda, \mu, ...$ - элементы произвольного поля $K$. Тогда $R$ называется