§1.7 Преобразование координат при изменении базиса.

Пусть $ e_1, e_2, ..., e_n,$ и $ e_n $ и $e_1', e_2', ..., e_n' -$ два базиса n-мерного пространства. Пусть, далее, каждый вектор $ e_\iota' $ выражается через векторы первого базиса формулами
$$
\left.\begin{aligned}
e_1' = a_{11} e_1 + a_{21} e_2 + ... + a_{n1} e_n, \\
e_2' = a_{12} e_1 + a_{22} e_2 + ... + a_{n2} e_n, \\
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . \\
e_n' = a_{1n} e_1 + a_{2n} e_2 + ... + a_{nn} e_n \\
\end{aligned}\right\rbrace
$$
Тогда переход от первого базиса ко второму задается матрицей $ A = ||\alpha_{ik}||$, определитель которой отличен от нуля*).

Обозначим через $ \xi_i $ координаты вектора $ x $ в первом базисе, а через /$ \xi_i' $ - его координаты во втором базисе. Найдем, как выражаются координаты $ \xi_i' $ через $ \xi_i$.

Мы имеем:
$$ x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n = \xi_1' e_1' + \xi_2' e_2' + ... + \xi_n' e_n'. $$
Подставив в это равенство вместо $ e_\iota' $ их выражения через $ e_\iota$, получим:
$$ x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ...
+ \xi_n e_n = \xi_1' ( \alpha_11 e_1 + \alpha_21 e_2 + ... \\
+ \alpha_{n1} e_n ) + \xi_2' ( \alpha_{12} e_1 + \alpha_{22} e_2 + ... \\
+ \alpha_{n2} e_n ) +\\
.................................... + \xi_n' ( \alpha_{1n} e_1 + \alpha_{2n} e_2 + ... + \alpha_{nn} e_n ). $$
Так как $ e_i $ линейно независимы, то коэффициенты при них в правой и левой частях равенства одинаковы. Получаем:
$$
\left.\begin{aligned}
\xi_1 = a_{11} \xi_1' + a_{12} \xi_2' + ... + a_{1n} xi_n', \\
\xi_2 = a_{21} \xi_1' + a_{22} \xi_2' + ... + a_{2n} xi_n', \\
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . \\
\xi_n = a_{n1} \xi_1' + a_{n2} \xi_2' + ... + a_{nn} xi_n'. \\
\end{aligned}\right\rbrace
$$
Сравним формулы (16) и (17). Между ними есть два существенных отличия: во-первых, поменялись местами трихованные и нештоихованные буквы и, во-вторых, в формулах (16) при суммировании меняется первый индекс, а в формулах (17) второй.

Таким образом, координаты $\xi_\iota$ вектора $x$ в первом базисе выражаются через координаты того же вектора $x$ во втором базисе с помощью матрицы $ A' $, транспонированной к $A$.

Этот результат можно предоставить и в другой форме. Решим уравнения (17) относительно $ \xi_1', \xi_2', ..., \xi_n'. $. Получим:
$$ \xi_1' = b_{11} \xi_1 + b_{12} \xi_2 + ... + b_{1n} \xi_n,
\xi_2' = b_{21} \xi_1 + b_{22} \xi_2 + ... + b_{2n} \xi_n,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\xi_n' = b_{n1} \xi_1 + b_{n2} \xi_2 + ... + b_{nn} \xi_n,
$$
где $ b_{ik} $ являются элементами матрицы, обратной к матрице $ A'$. Таким образом, мы видим, что координаты вектора преобразуются с помощью матрицы $ B = ||b_{ik}||$, являющейся обратной к $ A'$, где $ A'$ - матрица, транспортирования к матрице $A$, задающей преобразование базиса.