§5 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов

Мы знаем уже, что выражение квадратичной формы $ A(x; x) $ через координаты вектора $x$ зависит от выбора базиса. В этом параграфе будет показано, как привести квадратичную форму к сумме квадратов, т. е. выбрать такой базис (систему координат), я котором квадратичная форма имеет простой вид
$$ A (x; x) = \lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + ... + \lambda_n \xi_n^2 \qquad \qquad (1) $$

Пусть в некотором базисе $ f_1, f_2, ..., f_n $ имеем равенство
$$ A (x; x) = \sum_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \eta_i \eta_k, \qquad \qquad (2)$$
где $ \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n$ - координаты вектора $ x$ в этом базисе. Будем постепенно преобразовывать базис так, чтобы в формуле (2) пропадали произведения координат с различными индексами. Так как каждому преобразованию базиса отвечает определенное преобразование координат и обратно, то мы можем писать формулы преобразования координат.

Для приведения формы $ A(x; x) $ к сумме квадратов нам нужно будет, чтобы хоть один из коэффициг $ \alpha_{kk}$ ( коэффициент при $ \eta_k^2$) был отличен от нуля. Этого всегда можно добиться. Действительно, предположим, что форма $ A(x; x), $ не равная тождественно нулю, не содержит ни одного квадрата переменного; тогда она содержит хотя бы одно произведение, например, $ 2a_{12} \eta_1 \eta_2. $ Заменим координаты $ \eta_1$ и $ \eta_2$ по формулам
$$ \eta_1 = \eta_1' + \eta_2', \\ \eta_2 = \eta_1' - \eta_2', $$

*) Мы уже доказали, что билинейная форма $ A (x; y) $ однозначно определяются своей квадратичной формой $ A (x; x). $
**) Выше оно обозначалось $ (x; y), $ а не $ A (x; y). $

не изменяя остальных переменных. При этом преобразовании член $ 2 \alpha_{12} \eta_1 \eta_2 $ перейдет в $ 2 \alpha_{12} ( \eta_1'^2 - \eta_2'2), $ и так как, по предположению, $ \alpha_{11} = \alpha_{22} = 0, $ то он ни с чем не может сократиться, т. е. коэффициент при $ \eta_1'2$ отличен от нуля.

Будем теперь считать, что уже в формуле (2) коэффициент $ \alpha_{11} ≠ 0 *). $ Выделим в нашей квадратичной форме члены, содержащие $ \eta_1:$
$$ \alpha_{11} \eta_1^2 + 2 \alpha_{12} \eta_1 \eta_2 + ... + 2 \alpha_{1n} \eta_1 \eta_n. $$
Дополним эту сумму до полного квадрата, т. е. запишем ее в виде
$$ \alpha_{11} \eta_1^2 + 2 \alpha_{12} \eta_1 \eta_2 + ... + 2 \alpha_{1n} \eta_1 \eta_n = \\ = {{1} \over {\alpha_{11}}} (a_1, \eta_1 + ... + \alpha_{1n} \eta_n)^2 - B, \qquad \qquad (3), $$
где через $ B$ мы обозначили члены, содержащие лишь квадраты и попарные произведения членов $ \alpha_{12} \eta_2, ..., \alpha_{1n} \eta_n. $ После подстановки выражения (3) в (2) рассматриваемая квадратичная форма примет вид
$$ A (x; x) = {{1} \over {\alpha_{11}}} (\alpha_{11} \eta_1+ ... + \alpha_{1n} \eta_n)^2 + ..., $$
где не выписанные члены содержат только переменные $ \eta_2, ..., \eta_n. $
Положим
$$ \eta_1* = \alpha_{11} \eta_1 + \alpha_{12} \eta_2 + ... + \alpha_{1n} \eta_n, \\ \eta_2* = \cdots \eta_2, \cdots \\ \eta_n* = \cdots \cdots \cdots \eta_n. $$
Тогда квадратичная форма примет вид
$$ A(x; x) = {{1} \over {\alpha_{11}}} \eta^{*2}_1 + \sum_{i, k=2}^n \alpha_{ik*} \eta_i* \eta_k* $$

Выражение $\sum_{i, k=2}^n \alpha_{ik}* \eta_i* \eta_k* $ вполне аналогично правой части формулы (2) с той только разницей, что оно не содержит первой координаты. Предположим, что коэффициент $ \alpha_{22}* ≠ 0$ ( этого, как мы видели, всегда можно добиться простыми вспомогательными преобразованиями). Тогда можно произвести новое, аналогичное первому, преобразование переменных по формулам
$$ \eta_1** = \eta_1*, \\ \eta_2** = \alpha_{22}* \eta_2* + \alpha_{23}* \eta_3* + ... + \alpha_{2n}* \eta_n*, \\ \eta_3** = \qquad \eta_3*, \qquad \\ \cdots \cdots \cdots \\ \eta_n** = \qquad \qquad \qquad \eta_n". $$
В новых переменных форма примет вид
$$ A(x; x) = {{1} \over {\alpha_{11}}} \eta_1**^2 + {{1} \over {\alpha_{22}*}} \eta_2**^2 + \sum_{i, k=3}^n \alpha_{ik}^{**} \eta_i^{**} \eta_k{**}. $$
Продолжая этот процесс, мы после конечно числа шагов придем е переменным $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n, $ в которых форма $ A(x; x) $ будет иметь вид
$$ A (x; x) =\lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + ... + \lambda_m \xi_m^2, $$
причем $ m \leqslant n. $

Мы предоставляем читателю выписать преобразование базиса, отвечающее каждому из произведенных преобразований координат, и убедиться, что наши преобразования действительно переводят базис снова в базис, т. е. что полученные из базис в результате преобразования векторы снова линейно независимы.

Полагая в случае $ m

Теорема. Пусть в n-мерном пространстве $R$ задана произвольная квадратичная форма $ A (x; x). $ Тогда в $ R$ существует базис $ e_1, e_2, ..., e_n, $ в котором эта квадратичная форма имеет вид
$$ A (x; x) = \lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + ... + \lambda_n \xi_n^2, $$
где $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n $ - координаты вектора $x$ в базисе $e_1, e_2, ..., e_n.$

Приведем пример приведения квадратичной формы к сумме квадратов по описанному методу. Пусть в трехмерном пространстве с некоторым базисом $ f_1, f_2, f_3$ задана квадратичная форма
$$ A (x; x) = 2 \eta_1 \eta_2 + 4 \eta_1 \eta_3 - \eta_2^2 - 8 \eta_3^2. $$
Положим
$$ \eta_1 = \eta_2', \\ \eta_2 = \eta_1', \\ \eta_3 = \eta_3'. $$
Тогда получим:
$$ A (x; x) = - \eta_1^{'2} + 2 \eta_1' \eta_2' + 4 \eta_2' \eta_3' - 8 \eta_3^{'2}. $$
Дальше, полагая
$$ \eta_1* = - \eta_1' + \eta_2', \\ \eta_2* = \qquad \eta_2', \\ \eta_3* = \qquad \eta_3', $$
мы получим новое выражение для квадратичной формы:
$$ A (x: x) = - \eta_1^{*2} + \eta_2{*2} + 4 \eta_2* \eta_3* - 8 \eta_3^{*2}. $$
Преобразование
$$ \xi_1 = \eta_1*, \\ \xi_2 = \eta_2* + 2 \eta_3*, \\ \xi_3 = \qquad \eta_3* $$
выделит из нашей квадратичной формы ещё один полный квадрат, после чего форма примет каконичесеий вид:
$$ A(x; x) = - \xi_1^2 + \xi_2^2 - 12 \xi_3^2. $$

Имея формулы, выражающие $ \eta_1*, \eta_2*, ...., \eta_n*$ через $ \eta_1, \eta_2, ...., \eta_n;$ затем $ \eta_1**, ...., \eta_n**$ через $ \eta_1*, \eta_2*, ..., \eta_n*, $ и т. д., мы можем получить выражение координат $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n$ через первоначальные координаты $ \eta_1,eta_2, ..., \eta_n: $
$$ \xi_1 = c_{11} \eta_1 + c_{12}
\eta_2 + ... + c_{1n} \eta_n, \\ \xi_2 = c_{21} \eta_1 + c_{22}
\eta_2 + ... + c_{2n} \eta_n, \\ \cdots \cdots \cdots \\ \xi_n = c_{n1} \eta_1 + c_{n2} \eta_2 + ... + c_{nn} \eta_n $$
Так, в приведенном выше примере эти формулы имеют вид
$$ \xi_1 = \eta_1 - \eta_2, \\ \xi_2 = \eta_1 + 2 \eta_3, \\ \xi_3 = \eta_3. $$

Вспоминая (1.6), что матрица, дающая преобразование координат, является обратной и транспонированной к матрице преобразования базиса, мы можем выразить векторы нового базиса $ e_1, e_2, ...., e_n $ через векторы старого базиса $ f_1, f_2, ... , f_n: $
$$ e_1 d_{11} f_1 + d_{12} f_2 + ... + d_{1n} f_n, \\ e_2 d_{21} f_1 + d_{22} f_2 + ... + d_{2n} f_n, \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ e_n d_{n1} f_1 + d_{n2} f_2 + ... + d_{nn} f_n. $$
Если в процессе приведения нам ни разу не приходилось производить преобразования, меняющего сразу две координаты (такое преобразование, как мы помним, приходится совершать, когда в преобразуемой форме отсутствуют квадраты координат, либо если приходилось менять нумерацию), то формулы преобразования имеют имеют вид
$$ \xi_1 = c_{11} \eta_1 + c_{12} \eta_2 + ... + c_{1n} \eta_n, \\ \xi_2 = c_{22} \eta_2 + ... + c_{2n} \eta_n, \\ . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ \xi_n = c_{nn} \eta_n, $$
т. е. матрица преобразования является так называемой треугольной матрицей. Легко проверить, что матрица преобразования базиса будет в этом случае также треугольной матрицей вида
$$ e_1 = d_{11} f_1, \\ e_2 = d_{21} f_1 + d_{22} f_2, \\ .................... \\ e_n = d_{n1} f_1 + d_{n2} f_2 + ..... + d_{nn} f_n. $$
Здесь $ d_{\alpha \beta} $ - алгебраическое дополнение элемента $ c_{\alpha \beta} $ матрицы $ || c_{ik} ||, $ желанное на определитель этой матрицы.