§7.1 Закон инерции

Приводя квадратичную форму $ A(x; x) $ к сумме квадратов, можно по-разному выбирать тот базис, в котором эта форма приводится к сумме квадратов, т. е. к виду
$$ A(x; x) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \xi_i^2. \qquad \qquad (1) $$
Все те $ \lambda_i,$ которые отличны от нуля, можно заменяя векторы базиса им пропорциональными, сделать равными ± 1. Таким образом, канонический вид формы $ A(x; x) $ в некотором соответствующим образом подобранном базисе вполне можно характеризовать количеством коэффициентов, равных соответственно нулю, + 1 и -1. Так как мы можем по-разному выбрать тот базис, в котором квадратичная форма записывается в виде суммые квадратов, то возникает вопрос, зависит ли количество коэффициентов, равных нулю, + 1 и -1, от выбора базиса или же эти числа зависят лишь от квадратичной формы $ A(x; x) $ (являются ее инвариантами).

Например, если квадратичная форма $ A(x; x) $ в некотором базисе $ e_1, e_2, ..., e_n$ имеет матрицу
$$ || \alpha_{ik} ||, $$
где $ \alpha_{ik} = A(e_i; e_k) $ и все определители
$$ \Delta_1 = a_{11}, \Delta_2 = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix}, . . .,
\Delta_n = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} . . . a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} . . . a_{2n} \\
. . . . . . . . . . . . . \\
a_{n1} & a_{n2} . . . a_{nn}
\end{vmatrix} $$
отличны от нуля, то, все $ \lambda_i$ в формуле (1) отличны от нуля и при приведении $ A(x; x)$ к сумме квадратов по описанному там способу число отрицательных коэффициентов равно числу перемен знака в ряду определителей $ 1, \Delta_1, \Delta_2, ..., \Delta_n. $

Но мы могли взять другой исходный базис $ e_1', e_2', ..., e_n' $ (например, хотя бы взять те же самые векторы, но в другом порядке); при этом получатся другая матрица $ ||\alpha_{ik}' || $ и другие определители
$$\Delta_1', \Delta_2', ...., \Delta_n', $$
и заранее совершенно неясно, почему число перемен знака в обоих случаях должно быть одно и то же.

В этом параграфе будет доказана теорема, называемая законом инерции квадратичной формы:

Теорема 1. Если квадратичная форма приведена двумя различными способами (т. е. в двух различных базисах) к сумме квадратов, то число положительных коэффициентов, так же как и отрицательных, в обоих случаях одно и то же.

Так как общее число коэффициентов $ \lambda_i$ в каноническом виде квадратичной формы равно n, то отсюда следует, что число коэффициентов $ \lambda_i $ равных нулю, также есть инвариант квадратичной формы.

Доказательство. Пусть в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n $ квадратичная форма $ A(x; x) $ имеет вид *)
$$ A(x; x) = \xi_1^2 + \xi_2^2 + ... + \xi_p^2 - \xi_{p+1}^2 - ... - \xi_{p+q}^2; (2) $$
при этом $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n $ - координаты вектора $ x,$ т. е.
$$ x = \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_p e_p + \xi_{p+1} e_{p+1} + ... \\ ... + \xi_{p+q} e_{p+q} + ... + \xi_n e_n. $$
Пусть в базисе $ f_1, f_2, ..., f_n $ эта же квадратичная форма имеет вид
$$ A(x; x) = \eta_1^2 + \eta_2^2 + ... + \eta_{p'}^2 - \eta_{p'+1}^2 - ... - \eta_{p' + q'}^2, \qquad (3) $$
где $ \eta_1, \eta_2, ..., \et_n $ - координаты вектора $ x$ в базисе $ f_1, f_2, ..., f_n. $ Нам нужно доказать, что $ p= 0' $ и $ q= q'. $ Предположим, что это не так, например, пусть $ p > p'. $
Рассмотрим подпространство $ R',$ состоящее из линейных комбинаций векторов $ e_1, e_2, ..., e_l. $ Оно имеет $p$ измерений. Так как $ n - p' + > n $ (ибо мы предположили, что $ p>p'), $ то существует вектор $ x≠0, $ лежащий в пересечении $ R'$ и $ R''$, т. е. такой, что
$$ x= \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_p e_p $$
и
$$ x= \eta_{p'+1} f_{p'+1} + ... + \eta_{p'+q'} f_{p'+q'} + ... + \eta_n f_n. $$
В базисе $ e_1, e_2, ..., e_n $ этот вектор имеет координаты $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_p, 0, ..., 0, $ в базисе $ f_1, f_2, ..., f_n $ он имеет координаты $ 0, 0, ..., 0, \eta_{p'+1}, ..., \eta_n. $ Подставляя эти координаты в формулы (2) и (3), мы получим, с одной стороны,
$$ A(x; x) = \xi_1^2 + \xi_2^2 + ... + \xi_p^2 > 0 \qquad (4) $$
(так как не все числа $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_p $ равны нулю), а с другой стороны,
$$ A(x; x) = - \eta_{p' + 1}^2 - \eta_{p'+2}^2 - ... - \eta_{p' + q'}^2 \leqslant 0 *). \qquad (5) $$
Мы пришли к противоречию, следовательно, неравенство $ p > p' $ невозможно.Таким образом, закон инерции для квадратичных форм доказан.