docker exec Установить ENV переменную или загрузить все переменные из .env файла - без перезапуска контейнера

Можно так:

docker exec -it имяКонтейнера \
sh -c "export BASE_DOMAIN=test2 && вашаКоманда"

Или:

docker exec -it имяКонтейнера \
sh -c "source .env && вашаКоманда"

-- или если после && идет не баш-скрипт, то с явным экспортом:

set -o allexport && source .env && set +o allexport && вашаКоманда

в целом тут .env - может быть любым именем файла, который устаналивает переменные и иметь содержимое вида:

TEST_MODE='C'
TEST_VALUE='D'

Источник идеи в т.ч.: https://stackoverflow.com/a/30120197