syntax error : missing ';' before identifier - string ошибка в заголовочном файле - .h

прописывайте типы возвращаемые функцией с указанием используемых пространств имён, например -
вместо

extern string platformStringToStdString(String ^);

в общем случае надо писать:

extern std::string platformStringToStdString(System::String ^);

При этом не забывайте добавить внешние файлы заголовков (хэдеры), где данные пространства имён определены, например (пробелы между угловыми скобками и именами включаемых файлов надо убрать):

#include < iostream >
#include < windows.h >
#include < conio.h >
#include < string.h >

// а только потом наша прототип нашей функции
// с указанием типов, и пространств имён, где они определены
extern std::string platformStringToStdString(System::String ^);