Задача на собственные значения. Связь обобщенных собственных значений р-п оператора и его расширения по Фридрихсу

Задача на собственные значения. Связь обобщенных собственных значений равномерно положительного оператора и его расширения по Фридрихсу.

(по учебнику Копачевского)

Задача на собственные значения

Пусть $\Large A$ – линейный неограниченный положительно определенный оператор, действующий в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве $\Large H$ и заданный на плотной в $\Large H$ области определения $\Large D (A)$.

Многие задачи математической физики, связанные с проблемами колебаний гидродинамических и других систем, в общем виде могут быть сформулированы как задачи о нахождении нетривиальных решений уравнения
$\Large Au = \lambda u, \;\;\;\; u \in D(A) \subset H, \;\;\;\; \lambda \in \mathbb {C}$

Для положительно определенного оператора A по аналогии с понятием обобщенного решения операторного уравнения $ Au = f $вводится понятие обобщенного собственного элемента оператора $ A$ и обобщенного собственного значения.

Если $\Large Au = ?u =: f , 0 \ne u ? D (A), $то при любом $\Large v ? H_A$:
(u, v)A = \lambda (u, v) \;\;\; (2.7)

Элемент $\Large u ? H_A$ и число $\Large ? ? \mathbb {R}$ назовем обобщенным собственным элементом и обобщенным собственным значением оператора $\Large A >> 0$, если они удовлетворяют тождеству (2.7) при любом $\Large v ? H_A$.