Счётность множества рациональных чисел - доказательство (взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом)

Доказательство (изящное и довольно понятное) приведённое в книге сводится к следующим пунтам:

1. каждое рациональное число можно выразить в виде несократимой дроби
   

   p/q, где q > 0

2. назовём высотой дроби число
   

   |p| + q

3. число (количество) дробей с данной высотой конечно (напр. высота 1: - только одна дробь 0/1,
   высота 2: -1/1 и 1/1,
   высота 3 - здесь уже 4-ре дроби, какие именно- выпишите сами)))
4. Теперь просто перенумеруем все рациональные числа по возрастанию высоты (в тех отрезках ряда, где высота дроби одинакова числа можно расположить в произвольном порядке) - каждое из них получит некоторый номер, а значит соответствие установлено.