Ограниченный оператор - замкнутый оператор - область опеределения - уточнение

Вопрос: то есть для неограниченности оператора обязательно необходимо, чтобы область задания была незамкнутой?

ОТВЕТ: Нет, не правильно, не получается!

Верно следующее утверждение: ЗАМКНУТЫЙ оператор в полном пространстве является НЕОГРАНИЧЕННЫМ, тогда и только тогда, когда его область определения не является замкнутой=полной.

Как Вы видите, это перефразировка теоремы Банаха об ограниченности замкнутого оператора.

Но есть операторы, не являющиеся ни замкнутыми, ни ограниченными, даже одномерные (т.е. то что мы называем линейные функционалы. Например, пусть $\{e_j\}$ --- ортонормированный базис в гильбертовом пространстве. Зададим оператор $A: Ax=0$ при всех $x$ из линейной оболочки базиса. На векторе $f_0$, не входящем в эту линейную оболочку положим $Af_0=0$ и затем любым образом по линейности расширим этот оператор на все пространство.

Предлагаю доказать, что такой оператор не является ни замкнутым, ни непрерывным.