Группа содержит не более одной правой единицы - теорема (доказательство)

Группа содержит не более одной правой единицы

Доказательство. Пусть $ J$ и $ J_1$ будут две правые единицы группы, причем пусть $ J$ будет та единица, которая требуется 4-ой аксиомой определения группы.

Тогда справедливо равенство:
$$ J_1 J = J_1 \;\;\;\;\; (1.1)$$
Умножим обе части справа на $ J_1$: $ J_1 J J_1 = J_1 J_1 = J_1$

Далее умножим обе части справа на элемент $ X$, правый обратный к $ J_1$ - то есть такой, что:
$ J_1 X = J: J_1 J J_1 X = J_1 X$, то есть:
$$ J_1 J = J \;\;\;\;\; (2.2)$$

Сравнивая равенство (1.1) с равенством (2.2), получаем: $ J_1 = J$ откуда вытекает, что обе единицы не могут быть различны (следовательно, они совпадают, а потому правая единица группы единственна)