Элемент группы в нулевой степени

Primary tabs

vedro-compota's picture
Submitted by vedro-compota on Thu, 04/16/2015 - 21:54

Forums:

При рассмотрении определения порядка элемента группы, мы возводили некоторый элемент группы в степень (умножали его на себя $n$ раз)
Вопрос - если возвести элемента в нулевую степень что мы получим? $\Large J$ (единичный элемент) ?

(ведь тогда бы порядок любого элента был равен нулю) Вопрос необхожим для уточнений определения порядка элемента.

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

  • Log in to post comments
  • 6291 reads

math2

Thu, 04/16/2015 - 22:45

Это часть определения степени элемента.

$ A^0=J$ мы полагаем по определению степени элемента группы.

И это необходимо. Действительно, пусть $n\in \mathbb{N}$. Тогда
$n+0=n$.
Получается, что
$A^n=A^{n+0}=A^n\cdot A^0$.
Умножим слева обе части равенства $A^n=A^n A^0$ на обратный к $A^n$ элемент:
$ (A^n)^{-1}A^n=(A^n)^{-1}A^n A^0.$
$ (A^n)^{-1}A^n=\left((A^n)^{-1}A^n\right)\ A^0.$
$ J=JA^0.$
$J=A^0.$

vedro-compota's picture

vedro-compota

Thu, 04/16/2015 - 22:47

получается, что любой элемент группы имеет нулевой порядок? или ноль не может быть порядком, т.к. он не натуральное число?

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Fri, 04/17/2015 - 00:27

Да. Порядок элемента---положительное число.