Упражнение 1. Доказать, что все элементы $ J, A, A^2, ..., A^{k-1}$, где $ k$ — порядок элемента А, различны - упражнение

Упражнение 1. Доказать, что все элементы $ J, A, A^2, ..., A^{k-1},$ где $ k$ — порядок элемента $A$, различны.

Доказательство:

Предположим, что в последовательности $ J, A, A^2, ..., A^{k-1}$ найдутся два различные числа $m$ и $n$ - оба $ A^n = A^m, \,\, m,n < k$
Пусть для конкретности: $ m > n \Rightarrow m - n > 0 $
Тогда, по аналогии с рассуждениями в доказательстве того, что в конечной группе каждый элемент имеет конечный порядок:
умножим обе части равенства $A^n = A^m$ на элемент $A^{-n}$, обратный элементу $A^n$ ,тогда получим:
$ A^n * A^{-n} = A^m * A^{-n} \Rightarrow J = A^{m-n} $ - где $ J$ - единичный элемент группы.

Мы обнаружили некорое число $ (m-n)$, отличное от числа $ k$, так как $ m-n

Получается, что мы нашли число $ m-n$, меньше чем $ k$, для которого $ A^{m-n} = J$ - а это невозможно по определению - так как $ k$ уже является наименьшим числом, для которого $ J = A^k$
Следовательно, ситуация $ A^n = A^m, \,\, m,n \lt k$ невозможна $\Rightarrow$ все элементы $J, A, A^2, ..., A^{k-1}$ группы различны.