Найти наибольший нетривиальный делитель натурального числа

<?php
   
  /* Наибольший нетривиальный делитель натурального 
 числа --- это наибольшее натуральное число на которое 
 делится рассматриваемой нами число . Естественно , что 
 любое натруальное число делится само на себя и на единицу 
 нацело . Именно эти два числа --- само число и единица ---
 являются тривиальными делителями, и их мы не рассматриваем.
 Будем рассуждать следующим образом : 
 1) Рассматриваемое нами число может иметь один , два
 и более натуральных делителя , на которых оно делится без 
 остатка . Значит, мы должны придумать условие , которое бы
 отражало суть нашего деления. То есть получается , что при 
 делении на любой нетривиальный делитель у нас число делится
 нацело без остатка . То есть явно использовать  $a % $i == 0 
 Наше число $a делим на $i  и возвращаем остаток 
 (остаток от деления получается матемтической операцией % ),
 который должен равняться нулю. Мы должны перебрать все возможные
 делители $i , которые делятся без остатка на наше число $a .
 И выбрать наибольший .
 */
// Записываем наше число 
$a=20;
// Первое число берем два , один и ноль не подходят. На ноль делить 
//нельзя , а единица -это тривиальный делитель.
 $i=2;
// Теперь пишем цикл . Мы должны перебрать все делители от 2 и далее
// которые делятся без остатка .
  echo "Это результат первого кода : ","<BR>";
 while (($a % $i ) == 0 )
 { 
 echo $i , "<BR>";
     $i++;
 }
  echo "А теперь другой код : ","<BR>";
// Отлично ! Программа работает , но здесь есть недочёт 
// программа работает пока условие (($a % $i ) == 0) истинно, 
// то есть, если число $a=26 , а $i=2 , то всё отлично делится
// без остатка , условие выполнилось то есть  условие  возвращает нам
// TRUE и цикл прекратился уже при $i=3 ,так как уже будет остаток,
// равный 2 . 
// Всё хорошо , но задачу мы не решили . Мы должны найти 
// наибольший делитель . Как исправить код ?
// Вот решение : 
// Создадим массив ( он необходим для записи всех делителей):
$array=array();
// создадим массив в цикле while. А здесь запишем чему равен начальный элемент: 
$e=0;
// И создадим массив с неизвестным количеством элементов
$array=array();
// Начинаем работу  программы: 
   
for ($k=0 ; $k<$a ;$k++)
{
      
 while ( (($a % $i ) == 0 ))
     // Мы должны сделать так чтобы количество 
     // элементов массива равнялось количеству индексов  
     //массива : 
          
         { 
                  //Заполним массив делителей , их количество заранее
                  // неизвестно: 
			   $array[$e].$i;
                   //увеличиваемномер элемента массива на единичку
               $e++;
             // Выводим значение переменных $i и $k (вывод $k нужен
                          //     для  понимания работы цикла) 
             echo  "Chislo  i:", $i ,"&nbspChislo k:",$k, "<BR>";
             // Если оператор  break  убрать , то цикл будет выполнятся
                         //бесконечно . Почему ? 
             // Ответ : пока  условие цикла while истинно , то тело цикла 
                          //  будет выполнятся бесконечно
             // а это потому , что переменная $i здесь неизменна , а
                        // меняется вне цикла while
             break; 
         }
     $i++; 
}
// Всегда нетривиальный делитель по порядку на единичку меньше ,
//чем само число (которое является тривиальным делителем) , как 
//последнее в порядке всех делителей .
// Другими словами наибольший нетривиальный делитель
// по порядку записи в массиве стоит предпоследним , то есть 
// ключ массива равен $e-1 : 
 
 echo $array[$e-1]   , "&nbspNaibolshii netrivialnii delitel" ,"<BR>";
 
   
 ?>