Подстановка является (может быть представлена) либо циклом, либо произведением циклов - теорема

$A(1)$---это цифра из $\{1,\ 2,\ ...,\ n\}$
Здесь подстановки рассматриваются как отображения из
$\{1,\ 2,\ ...,\ n\}$ в $\{1,\ 2,\ ...,\ n\}$.
И $A^2(1)=A\left(A(1)\right)$.
Так как порядок группы $\mathfrak{S}_n$ конечен, то и любой элемент этой группы имеет
конечный порядок.
$$
A^k=J,
$$
где $k$---порядок элемента $A$, $J$---тождественное отображение.
Поэтому $A^k(1)=J(1)=1$.

Нет.

Имеется в виду не то, что $A^k=J$, а лишь
$$
A^k(1)=1.
$$

$k$ будет порядком цикла, которому принадлежит цифра 1.

Ряд
$$
1,\ A(1),\ A^2(1),\ ...,\ A^{k-1}(1)
$$

содержит лишь одну цифру 1, по определению числа $k$:
если бы этот ряд содержал две единицы, то $k$ не было бы наименьшим натуральным
числом, для которого $A^k(1)=1$.

Предположим теперь, что $A^s(1)=A^t(1)$, где $0\lt s\lt t\lt k$. Тогда применяя к цифре $A^s(1)$ подстановку $A$ несколько раз, можно было бы придти к $A^s(1)$ двумя путями:
--- первый путь не содержит цифру 1:
$$
A^s(1),\ A^{s+1}(1),\ ...,\ A^t(1)
$$
--- второй путь --- содержит:
$$
A^t(1),\ A^{t+1}(1),\ ...,\ A^{k-1}(1),\ 1,\ A(1),\ ... ,\ A^s(1).
$$
Но это невозможно, так как отображение $A$ определено однозначно.

Возможно, нам следует несколько строже подойти к определению цикла. Что значит, что два числа $i$, $j$ принадлежат одному и тому же циклу? Это значит, что существует такой $s\in\mathbb{Z}$, $s\ge 0$, что $(i)A^s=j$, то есть мы можем придти от $i$ к $j$ применяя несколько раз подстановку $A$.

Определение. Будем говорить, что $i$ принадлежит тому же циклу, что и $j$, если существует такой $s\in\mathbb{Z}$, $s\ge 0$, что $(i)A^s=j$.

Принадлежность числа циклу является отношением эквивалентности.

Обозначим длину цикла через $k$. Если $s\lt 0$, то мы можем взять вместо s его остаток от деления на $k$.

1. Рефлексивность. Действительно, любое число $i$ принадлежит тому же циклу, что и $i$. Цикл числа $i$ вычисляется однозначно.
2. Симметричность. Пусть $i$ лежит в одном цикле с $j$, то есть $(i)A^s=j$. Тогда и $(j)A^{-s}=i$.
3. Транзитивность. Пусть $(i)A^s=j,\ \ (j)A^t=k.$ Тогда $(i)A^{s+t}=k$, то есть $i$ и $k$ принадлежат одному циклу.

Отношение эквивалентности разбивает множество на попарно непересекающиеся классы.