Множество всех биективных отображений некоторого множества элементов на себя образует группу - теорема

Пусть $M$ - непустое множество $M \neq \varnothing$

Теорема. Множество всех биективных отображений $\mathfrak{P}$ из $M$ на $M$ образует группу. Такая группа называется симметрической.

Доказательство.
Наша цель - показать, что данное множество $\mathfrak{P}$ можно рассматривать как группу при условии введения на нём операции композиции как композации отображений $*$.

Рассмотрим тождественное отображение $id_M \rightarrow M$, которое является биективным $\Rightarrow$ принадлежит множеству всех биективных отображений $P$.

Заметим, что $\forall p \in \mathfrak{P}$ справедливо: $id_M * p = p * id_M = p$.
В последнем равенстве мы показали, что тождественное преобразование $id_M$ является по сути одновременно правой и левой единицей в множестве $\mathfrak{P}$ с введённой операцией $*$. Таким образом показано выполнение 3-ей аксиомы группы.

Далее если $p \in \mathfrak{P}$, то существует обратное преобразование $\exists p^{-1}: M \rightarrow M$, такое что справедливы два равенства:
$$
p * p^{-1} = id_M
\\
p^{-1} * p = id_M
$$
то есть мы показали, что для любого элемента из $p \in \mathfrak{P}$ существует обратный элемент (являющийся одновременно и правым, и левым), что соотвествует 4-ой аксиоме группы.

Нам осталось показать, что выполняется операция композиции преобразований * ассоциативна, то есть что для трёх любых биективных отображений из множества $\mathfrak{P}$ справедливо:
$$ (A * B) * C = A * (B * C), \;\;\; \forall A, B, C \in \mathfrak{P}$$
Доказательство данного утверждения приводится здесь.

Таким образом мы показали выполнимость всех четырёх аксиом группы, а потому доказали, что множество всех биективных отображений некоторого иного множества на себя образует группу.