Пространство Понтрягина $\Pi_\varkappa$ (Пи каппа) - определение

Пространство с индефинитной метрикой $\{\mathcal{E}, [\cdot, \cdot]\}$ называется пространством Понтрягина с $\varkappa$ положительными квадратами и обозначается $\Pi_\varkappa$ ,если выполнены следующие четыре аксиомы:

1. в $\mathcal{E}$ нет ненулевого вектора , ортогонального всему $\mathcal{E}$, то есть $[x, x_0] = 0$, $\forall x \in \mathcal{E}$, влечет $x_0 = 0$
2. в $\mathcal{E}$ существует хотя бы одно $\varkappa$-мерное, $\varkappa \in \mathbb{N}$, положительное подпространство;
3. для любых $\varkappa + 1$ векторов $\{x_j\}^{\varkappa + 1}_{j=1}$ квадратичная форма $\sum_{k, j=1}^{\varkappa + 1}[x_j, x_k]\xi_j\overline{\xi_k}$ имеет не более $\varkappa$ неотрицательных квадратов;
4. существует разложение
   $$\mathcal{E} =: \Pi_\varkappa = \Pi_+ [\dot +] \Pi_-,$$
   с $\Pi_+ > 0$, $\Pi_- < 0$, $[x_+, x_-] = 0$ при всех $x_\pm \in \Pi_\pm$
   $$dim \Pi_+ = \varkappa,$$
   и пространства $\{\Pi_\pm, \pm[x, y]\}$ гильбертовы.

[источник]