Упражнение 5. Пусть подстановка состоит из $m_1-, m_2- ..... m_k-$членных циклов. Доказать, что порядок этой подстановки...
Primary tabs
Forums:
Упражнение 5. Пусть подстановка состоит из $m_1-, m_2- ..... m_k-$членных циклов.
Доказать, что порядок этой подстановки есть наименьшее кратное чисел $m_1, m_2.......,m_k$.
ПРИМЕЧАНИЕ: фактически требуется доказать, что порядок подстановки равен НОК порядков циклов, из которых состоит эта подстановка
Доказательство. Для наглядность запишем подстановку, которая распадается на 2 цикла:
$\begin{matrix}
1&2&3&4&5\\
2&3&1&5&4
\end{matrix}$
$(123) (45)$
Цикл - это подстановка, а подстановка, в свою очередь, - это отображение.
Порядок подстановки есть наименьшая положительная степень этой подстановки, при которой данная подстановка становится тождественной, то есть отображает любой элемент множества на котором задана в него же.
А потому, чтобы определить порядок подстановки, мы просто должны выяснить минимальную положительную степень данного отображения, при которой данная подстановка становится тождественной.
При действии подстановкой на некоторый элемент произвольное число раз, мы получим лишь столько возможных значений сколько значений имеется в цикле, к которому относится данный элемент, а потому можно сказать, что действие подстановки на элемент ограничивается действием на него цикла, к которому данный элемент относится (см. док-во этой теоремы).
Чтобы каждый элемент цикла оставался на месте, на него необходимо и достаточно действовать $(m \cdot p)$ раз, где $p$ - целое число, а $m$ - порядок цикла, к которому относится данный элемент.
Но тогда НОК порядков всех циклов действительно оказывается минимальным (по собственному определению) числом, кратным всем порядкам, при котором (если применить подстановку НОК раз) элемент любого из циклов перейдёт сам в себя.
- Log in to post comments
- 7073 reads
vedro-compota
Mon, 02/08/2016 - 14:47
Permalink
да, нам бы не помешало более
да, нам бы не помешало более точное, чем это определение цикла.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Mon, 02/08/2016 - 21:35
Permalink
Подстановка представляется
Подстановка представляется произведением циклов (циклов, как элементов симметрической группы).
Порядок цикла равен его длине.
Пусть подстановка $A$ состоит ровно из $k$ циклов $A_1,\ A_2,\ ...,\ A_k$, длины которых есть $m_1,\ m_2\ ...\ m_k$ соответственно. Пусть $s$---наименьшее общее кратное чисел $m_1,\ m_2\ ...\ m_k$. Тогда
$$
A^s=(A_1\cdot A_2\ ...\ A_k)^s=A_1^s\cdot A_2^s\ ...\ A_k^s=............
$$
math2
Mon, 02/08/2016 - 22:09
Permalink
При действии подстановкой на
С доказательством согласен.
Чтобы каждый элемент цикла оставался на месте, на него необходимо и достаточно действовать $(m⋅p)$ раз, где $p$---целое число, а $m$---порядок цикла, к которому относится данный элемент.
Отсюда следует, что если $k$---порядок исходной подстановки, то он необходимо будет кратным
чисел $m_1, \ ...\ , m_k$.
Из всех этих общих кратных (положительных) мы должны выбрать наименьшее. Оно и будет порядком исходной подстановки.
vedro-compota
Tue, 02/09/2016 - 13:45
Permalink
ок
по замечанию:
заменил
на
.
math2, если считаете нужным какие-то слова там ещё поправить - поправьте тогда. А так считаем это вопрос рассмотренным)
_____________
матфак вгу и остальная классика =)