Упражнение 6. Парадокс. Все группы коммутативны

Ниже требуется найти ошибку в рассуждении.

Упражнение 6. Парадокс. Все группы коммутативны

Доказательство:
1. Предварительно докажем, что если элементы $A_1, A_2,....,A_n$ связаны соотношением $A_1 A_2 .......A_n = J$, то произведение этих элементов в любом порядке также равно $J$. Это утверждение справедливо при $n = 2$. Предположим, что оно справедливо для чисел не больших $n$ и докажем его для $n+1$. Так как мы увидим далее, что всякая подстановка может быть представлена, как произведение транспозиций, то есть перестановок двух цифр, то утверждение будет доказано, если мы покажем, что из
$$
\underbrace{A_1...A_{i-1}}_{B} \; A_{i} \; \underbrace{A_{i+1}....A_{j-1}}_{C} \; A_{j} \; \underbrace{A_{j+1}....A_{n+1}}_{D} = J
$$
следует
$$
\underbrace{A_1...A_{i-1}}_{B} \; A_{j} \; \underbrace{A_{i+1}....A_{j-1}}_{C} \; A_{i} \; \underbrace{A_{j+1}....A_{n+1}}_{D} = J
$$
Вводя обозначения $A_1,...A_{i-1} = B$, $A_{i+1}.....A_{j-1} = C$, $A_{j+1}.....A_{n+1} = D$, мы получим соотношение $BA_iCA_jD = J$ из меньшего числа элементов, а потому в силу нашего предположения $BA_jCA_iD = J$, что и требовалось доказать.

2. Теперь нетрудно доказать коммутативность нашей группы. Пусть $AB = C$. Тогда $ABC^{-1} = J$, и в силу доказанного (полагая $n = 3$) получим $BAC^{-1} = J$, откуда $BA = C$, т. е. $AB = BA$

Мы видели однако на простых примерах, что это утверждение неверно.

Где в рассуждении лежит ошибка?