Симметричное вхождение в рассуждение - уточнение

В конце доказательства теоремы о перестановочности циклов, есть такие слова:

Циклы $(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)$ и $(\beta_1 ... \beta_l)$ входят в это рассуждение симметрично. Поэтому эти циклы перестановочны и на множестве $B$.

В целом ясно, что подразумевается. что достаточно взять $y \in B$ и циклы окажутся перестановочными и в этом случае (как как цикл $A$ переводит элемент $y$ опять же в сам $y$, оставляя его "на месте").

Вопрос - можно ли всегда заменять подобную ситуацию словами о "симметричном вхождении в рассуждение"? Что именно под ними подразумевается? Ведь не только же то, что мы взяли произвольно в начале $y \in A$. Или что-то ещё? Ведь отчасти мы эту симметричность там и доказываем. (симметричность как перестановочность).