Если два цикла не содержат общих элементов, то они перестановочны - теорема

Предполагается, что все рассматриваемые подстановки принадлежат симметрической группе $\mathfrak{S}_n$, которая действует на множестве $\{1,\ ...,\ n\}$.

Теорема 2. Если два цикла не содержат общих элементов, то они перестановочны.

Доказательство.

Пусть циклы $(\alpha_1\ ...\ \alpha_m),\ (\beta_1 ... \beta_l)$ не содержат общих элементов.
Пусть
$$
A=\{\alpha_1,\ ...,\ \alpha_m\}.
$$
$$
B=\{\beta_1,\ ...,\ \beta_l\}.
$$
$$
C=\{1,\ ...,\ n\}\setminus(A\cup B).
$$

Получается, если $y\in C$, то
$$
(y)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)=y
$$
и
$$
(y)(\beta_1 ...\ \beta_l)=y.
$$
Cледовательно, если $y\in C$, то
$$
(y)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)(\beta_1 ... \beta_l)=(y)(\beta_1 ... \beta_l)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)=y.
$$
Если $y\in A$, то
$$
(y)(\beta_1 ... \beta_l)=y.
$$
Поэтому
$$
(y)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)(\beta_1 ... \beta_l)=(y)(\beta_1 ... \beta_l)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m).
$$
Здесь мы, конечно, использовали то, что если $y\in A$, то $\left((y)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)\right)\in A$. Таким образом мы получили перестановочность наших циклов на множествах
$C$ и $A$.

Циклы $(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)$ и $(\beta_1 ... \beta_l)$ входят в это рассуждение симметрично. Поэтому эти циклы перестановочны и на множестве $B$.
У нас есть перестановочность циклов $(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)$ и $(\beta_1 ... \beta_l)$ на всём множестве $\{1,\ 2,\ ...,\ n\}$.

Теорема доказана.

Следствие.

Циклы, составляющие одну и ту же подстановку, перестановочны.