Подгруппа (делитель группы), первоначальная группа - определение

Подгруппа - подмножество элементов некоторой ("первоначальной") группы, которое, будучи взятым отдельно, само образует группу.

Также подгруппу называют делителем первоначальной группы.

Пример

Симметрическая группа подстановок 3-й степени (т.е. из 3 предметов ) состоит из следующих 6-ти подстановок:

$ 1,
(1 2 3),
(1 3 2),
(1 2),
(1 3),
(2 3)$

Мы получим ее, если напишем всевозможные подстановки, у которых в верхнем ряду будет стоять расположение $\{1, 2, 3\}$, а в нижнем - всевозможные перестановки из цифр $\{1, 2, 3\}$ (перестановки как результат действия подстановки).

$ \mathfrak{S_3}$- группа порядка $6$. Ее подгруппы:

  1. $ 1, (1 2 3), (1 3 2) $ - порядка 3
  2. $ 1, (1 2) $ - порядка 2
  3. $1, (1 3) $ - порядка 2
  4. $ 1, (2 3) $ - порядка 2
  5. $ 1 $ - порядка 1 (тождественная группа)