Упражнение 6 - Глава 1 Чеботарёв - "все группы коммутативны", комментарии к доказательству ("Где ошибка")

В доказательстве 6-го упражнения база индукции верна.

От соотношения
$$
\underbrace{A_1...A_{i-1}}_{B} \; A_{j} \; \underbrace{A_{i+1}....A_{j-1}}_{C} \; A_{i} \; \underbrace{A_{j+1}....A_{n+1}}_{D} = J
$$
мы переходим к соотношению
$$BA_iCA_jD = J.$$

Сказано: "получим соотношение $BA_iCA_jD = J$ из меньшего числа элементов".

--- Меньшего, чем что?
--- Меньшего, чем $n+1$.

Получается, что $n+1\gt 5$.
$$
n \geq 5.
$$

Мы не можем сделать шаг индукции от 2 (от базы) к 3.

--- Есть ли рассуждения, позволяющие здесь сделать этот шаг?

Покажем, что нет.

Два элемента $A_1,\ A_2$ действительно перестановочны, если
$(A_1A_2) = J.$

Поэтому, если
$A_1A_2A_3 = J,$ то
$$
(A_1A_2)A_3 = A_3(A_1A_2)= (A_3A_1)A_2 = A_2(A_3A_1).
$$

Мы получили все возможные перестановки множителей (проверив непосредственно):

$$A_1A_2A_3 = A_3A_1A_2 = A_2A_3A_1 = J.$$

Примечание: эти преобразования соответствуют группе подстановок:
$(123), (321), 1$ - которая является подгруппой в $\mathfrak{S_3}$.

Как видим, переставить множители произвольным образом в произведении $A_1A_2A_3 =J$ возможным не представляется.