Теорема 5. Когда совокупности составляют группу

Теорема 5. Совокупность $\mathfrak{A}$ составляет группу тогда и только тогда, если имеет место:

$$\mathfrak{A}\cdot\mathfrak{A}=\mathfrak{A} $$

Доказательство. Если $ \mathfrak{A} $ составляет группу,
то произведение $\mathfrak{A}\cdot\mathfrak{A}$ не может
содержать ничего другого, кроме элементов из $ \mathfrak{A} $. С другой стороны, он непременно содержит все элементы из $ \mathfrak{A} $, так как группа $ \mathfrak{A} $ содержит единицу $ J $, а потому $\mathfrak{A}\cdot\mathfrak{A}$ содержит $\mathfrak{A} \cdot J$, т.е. $\mathfrak{A}$.

Обратно, если $\mathfrak{A}\cdot\mathfrak{A} = \mathfrak{A}$, то в силу результата упражнения 7 $\mathfrak{A}$ является группой.