Упражнение 8. Чебортарёв. Док-во: Справедливость дистрибутивного закона для совокупностей

Primary tabs

JaKarta's picture
Submitted by JaKarta on Mon, 02/15/2016 - 15:58

Forums:

Упражнение 8. Доказать справедливость дистрибутивного закона:
$$ \mathfrak{(A+B)C=AC+BC}, \;\; \mathfrak{C(A+B)=CA+CB} $$

Доказательство. Доказательство вполне очевидно и получается непосредственной проверкой.
Введем обозначения:

$ \mathfrak{A}= A_1+ A_2+\ldots+ A_m$,
$\mathfrak{B}= B_1+ B_2+\ldots+ B_n$,
$\mathfrak{C}= C_1+ C_2+\ldots+ C_k$,

Имеем:
$
\mathfrak{(A+B)C} = \\
(A_1+ A_2+\ldots+ A_m+B_1+ B_2+\ldots+ B_n)(C_1+ C_2+\ldots+ C_k) = \\
A_1C_1+\ldots+A_mC_1+B_1C_1+\ldots+B_nC_1+\ldots+A_mC_k+\ldots+B_nC_k
$

Если среди элементов $ A_iC_j $, $ B_rC_s $ попадутся одинаковые, то лишние будем отбрасывать. Таким образом, получаем суммы вида:
$$\mathfrak{(A+B)C}=\overbrace{A_1C_1+\ldots+A_qC_1+\ldots+A_qC_k}^{A_iC_j}+\underbrace{B_1C_1+\ldots+B_tC_1+\ldots+B_tC_k}_{B_rC_s}=\mathfrak{AC+BC}$$

Аналогично действуем со вторым равенством:
$$ \mathfrak{C(A+B)}=\overbrace{C_1A_1+\ldots+C_1A_q+\ldots+C_kA_q}^{C_jA_i}+\underbrace{C_1B_1+ \ldots+C_1B_t+\ldots+C_kB_t}_{C_sB_r}=\mathfrak{CA+CB}$$
Таким образом, дистрибутивность доказана.

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

  • Log in to post comments
  • 13336 reads
vedro-compota's picture

vedro-compota

Tue, 02/16/2016 - 17:11

Поправил оформление. Со всем согласен, кроме:
$$ \mathfrak{CA+CB}=\mathfrak{AC+BC}$$
из:

$$ \mathfrak{C(A+B)}=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^mC_iA_j+\sum\limits_{r=1}^k\sum\limits_{s=1}^nC_rB_s=\mathfrak{CA+CB}=\mathfrak{AC+BC}$$

Чтобы $ \mathfrak{CA+CB}=\mathfrak{AC+BC}$ выполнялось нужно, чтобы группа, из которой берётся совокупности, была абелевой, а в формулировке этого не сказано, да и доказывать подобное не равенство не требуется, насколько я понимаю)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

JaKarta's picture

JaKarta

Tue, 02/16/2016 - 17:54

Спасибо. Исправлено!

math2

Fri, 02/19/2016 - 23:59

Здесь выражение
$$
\mathfrak{A}= A_1+ A_2+\ldots+ A_m
$$
является лишь обозначением для
$$
\mathfrak{A}=\{A_1,\ A_2,\ \ldots\ ,\ A_m\}.
$$

Обозначения же
$$
\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^kA_iC_j
$$
могут вызвать путаницу с алгебраической суммой.

Как бы Вы провели доказательство, если бы не была исключена бесконечность совокупностей
$\mathfrak{A},\ \mathfrak{B},\ \mathfrak{C}$ и применялись бы более современные обозначения:
$$
(\mathfrak{A}\cup \mathfrak{B})\mathfrak{C}=(\mathfrak{AC})\cup (\mathfrak{BC}), \;\; \mathfrak{C}(\mathfrak{A}\cup \mathfrak{B})=(\mathfrak{CA})\cup (\mathfrak{CB})?
$$

JaKarta's picture

JaKarta

Sun, 02/21/2016 - 17:12

Спасибо. У меня было стремление сократить запись, видимо не очень удачное. Но подразумевалось, что именно рассматривается новая совокупность пар вида $A_iC_j$.
Если бы применялись современные обозначения - принцип был бы такой же, ведь знак суммы здесь дан не в смысле сложения, насколько я понимаю. Только в виду бесконечности совокупностей нельзя было бы точно полагать, что на определенном этапе удалены лишние совпадающие пары вида $A_iC_j$?

math2

Sun, 02/21/2016 - 20:27

Только в виду бесконечности совокупностей нельзя было бы точно полагать, что на определенном этапе удалены лишние совпадающие пары вида $A_i C_j$?

Мы не исключаем ситуации, когда $\mathfrak{A}\cap \mathfrak{B}\neq\emptyset$, или
$\mathfrak{B}\cap \mathfrak{C}\neq\emptyset$, или $\mathfrak{A}\cap\mathfrak{C}\neq\emptyset$.

Равенство
$$
(\mathfrak{A}\cup \mathfrak{B})\mathfrak{C}=(\mathfrak{AC})\cup (\mathfrak{BC})
$$
следует из
$$(\mathfrak{A}\cup \mathfrak{B})\mathfrak{C}\subseteq (\mathfrak{AC}) \cup (\mathfrak{BC}),\ \ \ (\mathfrak{A}\cup \mathfrak{B})\mathfrak{C}\supseteq (\mathfrak{AC})\cup (\mathfrak{BC}).$$
Нужно проверить справедливость этих включений, не обращая внимания на количество элементов.

math2

Sat, 02/20/2016 - 00:04

для определенности полагая все слагаемые совокупностей различными, имеем $mk+nk=(m+n)k$ слагаемых.

Что Вы хотите этим сказать?

JaKarta's picture

JaKarta

Sun, 02/21/2016 - 17:24

Некорректная фраза. Имелось в виду следующее: если в результате умножения совокупностей
$ \mathfrak{A}= A_1+ A_2+\ldots+ A_m$,
$\mathfrak{C}= C_1+ C_2+\ldots+ C_k$,
все полученные элементы $A_iC_j$ различны, то они будут представлены в количестве $mk$.
Но эти индексы были уже заняты изначально, а потом отбрасывались лишние элементы.
Мне кажется, эту фразу вообще лучше убрать, т.к. на ход доказательства ее отсутствие не повлияет и не будет путаницы.

JaKarta's picture

JaKarta

Wed, 02/24/2016 - 13:01

Спасибо, все исправлено