Теорема 7 (Лагранжа). Порядок подгруппы есть делитель порядка первоначальной группы

(в процессе)

Теорема 7 (Лагранжа). Порядок подгруппы есть делитель порядка первоначальной группы.

Доказательство. Пусть по-прежнему:
$$
\mathfrak{G}=J + A_2 +\ldots+A_n, \;\;\; \mathfrak{H}=J+B_2+\ldots+B_m.
$$

Здесь порядок $ \mathfrak{G} $ есть $ n $ и порядок $ \mathfrak{H} $ есть $ m $. В силу того, что элементы $ B_i $ содержатся среди $ A_j $, а так же того, что $ \mathfrak{H} $ содержит единицу, будем иметь:
$$
\mathfrak{H}+\mathfrak{H}A_2+\ldots+\mathfrak{H}A_n=\mathfrak{HG=G}
$$
В левой части этого равенства будем оставлять только по одной из одинаковых сопряженных систем, а остальные вычеркнем. Пусть в результате получится разложение
\begin{equation}
\mathfrak{G=H+H}A_2+\ldots+\mathfrak{H}A_k \;\;\;\;\; (2)
\end{equation}
В силу теоремы 6 все элементы правой части различны между собой. Поэтому в правой части равенства (2) содержится $m*k$ различных элементов, а в левой части их всего $n$. Поэтому
\begin{equation}
n=mk.
\end{equation}
Это равенство доказывает теорему.
Разложение (2) носит название разложения группы $\mathfrak{G}$ по подгруппе $\mathfrak{H}$. Число $k$, т.е. число сопряженных систем в разложении (2), или просто частное порядков групп $\mathfrak{G}$ и $\mathfrak{H}$ носит название индекса подгруппы $\mathfrak{H}$ относительно группы $\mathfrak{G}$ и часто обозначается так: $\mathfrak{(G:H)}$.

Можно с тем же успехом умножать $\mathfrak{H}$ на элементы группы $\mathfrak{G}$ не справа, а слева, так что получится разложение
\begin{equation}
\mathfrak{G=H}+A_2^{'}\mathfrak{H}+\ldots+A_k^{'}\mathfrak{H}.
\end{equation}

Следствие: Порядок группы делится на порядок любого своего элемента.

Это следует из того, что, если порядок элемента $A$ группы $\mathfrak{G}$ есть $m$, то элементы $J,A,A^2,\ldots,A^{m-1}$ все различны между собой (упражнение 1) и составляют группу порядка $m$, которая является делителем группы $\mathfrak{G}$

Группы, образованные степенями какого-нибудь элемента, называются циклическими группами. Нетрудно убедиться, что все циклические группы абелевы, т.е. подчиняются коммутативному закону.