Список задач Семинара - Алгебра, Теория групп и др.

Список задач, используя которые можно проверить свои знания.
[Теоретический материал и определения здесь].

Теория групп

• 1) Доказать, что все элементы $ J, A, A^2, ..., A^{k-1},$ где $ k$ — порядок элемента $A$, различны.
• 2) Доказать, что равенство $A^m = A^n$ имеет место в том и только в том случае, если разность $m-n$ делится на порядок элемента $A$.
• 3) Проверить, что:
  $ \begin{pmatrix}
  1&2&3&4&5\\
  4&1&2&3&5
  \end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix}
  1&4&3&2
  \end{pmatrix} $
  И что:
  $ \begin{pmatrix}
  1&2&3&4&5&6\\
  2&3&1&5&6&4
  \end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix}
  1&2&3
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
  4&5&6
  \end{pmatrix}$
• 4) Можно показать, что всякая перестановка может быть представлена в виде композиции циклов.
  Покажем теперь, что циклы, составляющие одну и ту же подстановку (то есть лишённые общих цифр) перестановочны.
• 5) Пусть подстановка состоит из $m_1-, m_2- ..... m_k-$членных циклов.
  Доказать, что порядок этой подстановки есть наименьшее кратное чисел $m_1, m_2.......,m_k$
• 6) Упражнение 6.
• 7) Доказать следующее: чтобы убедиться, что некоторая совокупность элементов конечной группы $\mathfrak{G}$ составляет группу $\mathfrak{H}$, достаточно показать, что произведение любых двух элементов этой совокупности тоже принадлежит этой совокупности (дело сводится к проверке аксиом 3 и 4).
• 8) Доказать справедливость дистрибутивного закона для совокупностей:

  $$ \mathfrak{(A+B)C=AC+BC}, \;\; \mathfrak{C(A+B)=CA+CB} $$

• 9) Доказать, что симметрическая группа $S_n$ содержит ровно
  $$
  {n!\over{n_1^{k_1}n_2^{k_2}......n_s^{k_s}k_1!k_2!......k_s!}}
  $$
  $(n = k_1 n_1 + k_2 n_2 + ...... + k_s n_s)$ подстановок, разлагающихся на $k_1$ циклов порядка $n_1$, $k_2$ циклов порядка $n_2$,......, $k_s$ циклов порядка $n_s$, где $ n_1 \gt n_2 \gt ..... \gt n_s $