теория групп

Разложение группы по подгруппе. Индекс подгруппы относительно группы

Рассмотрим группу $ \mathfrak{G} $ с порядком $ n $ и её подгруппу $ \mathfrak{H} $ с порядком $ m $, которые состоят из элементов:
$$
\mathfrak{G}=J + A_2 +\ldots+A_n, \;\;\; \mathfrak{H}=J+B_2+\ldots+B_m.
$$
В силу того, что элементы $ B_i $ содержатся среди $ A_j $, а так же того, что $ \mathfrak{H} $ содержит единицу, будем иметь:
$$
\mathfrak{H}+\mathfrak{H}A_2+\ldots+\mathfrak{H}A_n=\mathfrak{HG=G}
$$

Теорема 7 (Лагранжа). Порядок подгруппы есть делитель порядка первоначальной группы

(в процессе)

Теорема 7 (Лагранжа). Порядок подгруппы есть делитель порядка первоначальной группы.

Доказательство. Пусть по-прежнему:
$$
\mathfrak{G}=J + A_2 +\ldots+A_n, \;\;\; \mathfrak{H}=J+B_2+\ldots+B_m.
$$

Теорема 6. Системы $ \mathfrak{H}A_i $ содержат при всяком $ A_i $ одно и то же число элементов (равное порядку группы...

Пусть $ \mathfrak{G}=A_1+A_2+ \ldots +A_n $ есть группа, $ \mathfrak{H} $ - ее подгруппа. Совокупности типа $ \mathfrak{H}A_i $ называются сопряженными системами (смежными классами). Имеет место

Теорема 5. Когда совокупности составляют группу

Теорема 5. Совокупность $\mathfrak{A}$ составляет группу тогда и только тогда, если имеет место:

$$\mathfrak{A}\cdot\mathfrak{A}=\mathfrak{A} $$

Subscribe to RSS - теория групп