Чеботарёв теория групп

Докажем упражнение 7:

Упражнение 7. Доказать следующее: чтобы убедиться, что некоторая совокупность элементов конечной группы $\mathfrak{G}$ составляет группу $\mathfrak{H}$, достаточно показать, что произведение любых двух элементов этой совокупности тоже принадлежит этой совокупности (дело сводится к проверке аксиом 3 и 4).

Упражнение 8. Доказать справедливость дистрибутивного закона:
$$ \mathfrak{(A+B)C=AC+BC}, \;\; \mathfrak{C(A+B)=CA+CB} $$

Доказательство. Доказательство вполне очевидно и получается непосредственной проверкой.
Введем обозначения:

$ \mathfrak{A}= A_1+ A_2+\ldots+ A_m$,
$\mathfrak{B}= B_1+ B_2+\ldots+ B_n$,
$\mathfrak{C}= C_1+ C_2+\ldots+ C_k$,