Несчётность множества действительных чисел на отрезке [0, 1] - доказательство
Primary tabs
Несчётность множества действительных чисел на отрезке [0, 1]
Очень хорошее доказательство имеется в этом учебнике
Докзательство (изложенно несколько в более вольной форме, чем в учебнике):
- "Выпишем" из данного данного множества некоторе счётное множество действительных чисел (дробей) - каждое из которых будет иметь вид:
$\large a_1 = 0, a_{11}a_{12}a_{13}.....a_{1n}.....,$
$\large a_2 = 0, a_{21}a_{22}a_{23}.....a_{1n}.....,$
$\large . . . . . . .. . . . . . . .. .. . .. .. . . . . . . . .. .$
$\large a_n = 0, a_{n1}a_{n2}a_{n3}.....a_{nn}.....,$
$\large . . . . . . .. . . . . . . .. .. . .. .. . . . . . . . .. .$ - А теперь составим число (тоже дробь), которое не совпадёт ни с одним из указанных выше чисел, для этого сделаем следующее:
- составим такое число :
$\large b = 0, b_{1}b_{2}b_{3}.....b_{n}....., $, что цифры его дроби не сопадают с диагональю (см. Диагональная процедура Кантора) цифр дроби списка числе {a1, a2,,,,,,an,,,,,}, приведённого в первом пункте, точнее это "несовпадение" можно записать так:
$\large b_{1} \neq a_{11}$
$\large b_{2} \neq a_{22}$
$\large.............................$
$\large.............$
$\large b_{n} \neq a_{nn}$
и так далее... - Таким образом число b не будет равно ни одному из списка {a1, a2,,,,,,an,,,,,} , а значит
никакое счётное множество дейсвительных чисел на отрезке [0, 1] "не исчерпывает данного отрезка"
(то есть не совспадает с ним, будучи "меньше" по числу элементов)
ПРИМЕЧАНИЕ: доказательство приведённое выше содержит некоторый "обман", дело в том, что на самом деле бесконечные дроби вроде (вида $\large 1/10^{q}$ - то есть которые могут быть записаны бесконечным числом нулей или девяток):
5,0000...... = 4,99999......
равны.
То есть несовпадение двух десятичных дробей вовсе не значит, что числа, которое они обозначают различны.
Но можно строить дробь $\large b = 0, b_{1}b_{2}b_{3}.....b_{n}....., $ более острожно - вовсе избегая нулей и девяток, например введя правило из двух пунктов:
- $\large b_{n} = 1 $ если $\large a_{nn} \neq 1$ (цифры уже не совпадают)
- а если всё же $\large a_{nn} = 1$, то цифре $\large b_{n}$ дроби $\large b$ (которую мы строим отличной от всех) можно присвоить любую другую цифру отличную от единицы, скажем:
$\large b_{n} = 2$
Введённое правило позволяет избежать "обмана", и сделать доказательство "вполне корректным". =)
- Log in to post comments
- 22786 reads
math2
Sat, 01/17/2015 - 19:58
Permalink
Неточность в ПРИМЕЧАНИИ:
Неточность в ПРИМЕЧАНИИ:
$0,50000...=0,49999...$
В связи с периодической дробью $0,(9)=0,999...$
приведу одно рассуждение из школьной алгебры:
$0,(9)=\frac{9}{10}\big(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+...\big)=$
$=\frac{9}{10}\big(\frac{1}{ 1-\frac{1}{10} }\big)=$
$=\frac{9}{10}\big( \frac{10}{10-1}\big)=1.$
vedro-compota
Wed, 01/21/2015 - 21:53
Permalink
Спасибо!
Спасибо!
но думаю исправлю на:
- там кажется так было)
А рассуждение - это на основании правила для геометрической прогрессии?
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Wed, 01/21/2015 - 22:34
Permalink
Да, сумма членов
Да, сумма членов геометрической прогрессии.