[!] Глоссарий - Алгебра (теория групп) понятия, определения, примеры - "что это такое" - Diffiety School (Матфак ВГУ)

Нельзя решить задачу, если она не поставлена
- (ↄ) В. К.

Данный раздел подразумевается к использованию в качестве словаря для начинающих участников Семинара "Современные методы алгебры и топологии".
Секция будет постоянно пополняться ссылками на новые определения, примечания, рассуждения, теории, теоремы и их доказательства.

#25 Десятичные дроби

Вычисления с простыми дробями становятся очень громоздкими, если их знаменатели сколько-нибудь велики. Главное затруднение состоит в приведении дробей к общему знаменателю; оно вытекает из того, что знаменатели могут быть любыми числами, в выборе которых нет никакой системы. Поэтому уже в древности пришли к мысли выбирать не произвольно, а систематически доли единицы (которые в простых дробях играют роль знаменателей).

#24 Целое и часть

$1$. Нахождение части по целому. Чтобы найти некоторую часть числа, его умножают на дробь, выражающую эту часть.

Пример. По уставу кооператива, для правомочности отчетного собрания на нем должно присутствовать не менее $\dfrac{2}{3}$ членов организации. В кооперативе $120$ членов. При каком составе может состояться отчетное собрание?

Решение. $120 \cdot \dfrac{2}{3} = 80$.

$2$. Нахождение целого по части. Чтобы найти число по величине данной его части, делят эту величину на дробь, выражающую данную часть.

#23 Действия с нулем

Сложение. Прибавление нуля к некоторому числу оставляет последнее неизменным:
$$
5+0=5; \ 3 \dfrac{5}{7} + 0 = 3 \dfrac{5}{7}.
$$
Вычитание. Вычитание ну ля из какого-либо числа оставляет последнее неизменным:
$$
5-0=5; \ 3 \dfrac{5}{7}-0= 3 \dfrac{5}{7}.
$$
Умножение. Произведение нуля на любое число равно нулю:
$$
5 \cdot 0 = 0; \ 0 \cdot 3 \dfrac{5}{7}=0; \ 0 \cdot 0=0.
$$
Деление.

#22 Деление дробей

Определение деления, данное выше в #9, сохраняется и для деления дробей. Из него вытекает следующее правило.

Чтобы разделить какое-нибудь число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю [ Обратная дробь получится из данной, если у последней поменять местами числитель и знаменатель. Например, для дроби $\dfrac{6}{7}$ обратная дробь будет $\dfrac{7}{6} $].

#21 Умножение дробей. Правило

Чтобы умножить дробь на дробь. умножают числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Первый результат есть числитель произведения, второй - знаменатель. Если среди сомножителей имеются смешанные числа, то их предварительно обращают в неправильную дробь. Еще до умножения можно сокращать любой множитель числителя с любым множителем знаменателя на общий делитель.

#20 Умножение дробей. Определение

Для умножения и деления дроби на целое число можно сохранить данные выше определения (#9, пп. 3 и 4). Например,
$$
2 \dfrac{3}{4} \cdot 3 = 2 \dfrac{3}{4} + 2 \dfrac{3}{4} + 2 \dfrac{2}{4} = 8 \dfrac{1}{4}.
$$
Обратно, $8 \dfrac{1}{4} : 3 = 2 \dfrac{3}{4}$. Практические правила вычисления см. ниже.

#19 Сложение и вычитание дробей

Если знаменатели дробей одинаковы, то, чтобы сложить дроби, нужно сложить их числители, а чтобы вычесть дроби, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого; полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель остается прежним. Если знаменатели дробей различны, нужно предварительно привести дроби к общему знаменателю.

Пример $1$. $\dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{8}= \dfrac{12}{8}=1 \dfrac{4}{8}=1 \dfrac{1}{2} $.

Пример $2$. $\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{5}= \dfrac{45}{120} + \dfrac{100}{120} - \dfrac{48}{120} = \dfrac{97}{120}$.

#18 Сравнение дробей; приведение к общему знаменателю

Из двух дробей с одинаковым числителем больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Например, $\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{4} , \dfrac{5}{7} > \dfrac{5}{9}$. Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та дробь, у которой числитель больше.
Например, $\dfrac{5}{8} > \dfrac{3}{8}$.

Чтобы сравнить две дроби, у которых различны и числитель и знаменатель, нужно одну или обе дроби
преобразовать так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Для этого можно, например, первую дробь расширить на знаменатель второй , а вторую - на знаменатель первой.

Pages

Subscribe to fkn+antitotal RSS