fkn+antitotal

Урок 15. Задача №10.

Напишите программу, которая будет заполнять массив из 10 элементов случайными числами из диапазона от 0 до 20, при этом в полученном массиве не должно быть одинаковых значений.

Мы покажем, что любой вектор в пространстве $ R$ можно рассматривать как элемент некоторого тензорного пространства. Сначала убедимся в этом для тензоров ранга 2, дважды ковариантных.

Определяя Тензорное произведение $ R \otimes R,$ мы фактически нигде не пользовались тем, что векторы $x, y$ в произведении $ x \otimes y$ берутся из одного и того же пространства. Поэтому, повторяя дословно определения пункта 1, можно определить также Тензорное произведение $ R_1 \otimes R_2$ двух различных пространств $ R_1$ и $R_2.$

Если $ e_1, ..., e_m$ - базис в $ R_1,$ а $ f_1, ..., f_n$ - базис в $ R_2, $ то базисом в $ R_1 \otimes R_2$ служат $ mn$ векторов $ e_i \otimes f_j (i = 1, ..., m; i=1, ..., n)$.

Докажем, что $ R \otimes R$ - конечномерно пространство размерности $ n^2,$ где $n$ - размерность $ R.$

Зададим базис $e_1, ..., e_n$ в пространстве $R.$ Пусть $x, y$-произвольные векторы из $R;$ разложим их по векторам базиса:

$$ x = \xi_1 e_1 + ... + \xi_n e_n, y = \eta_1 e_1 + ... + \eta_n e_n.$$
Тогда
$$ x \otimes y = \sum_{i, j=1}^n \xi_i \eta_i (e_i, \otimes e_j).$$

Таким образом, $ x \otimes y$, а значит, и любой другой вектор из $ R \otimes R$ является линейной комбинацией $ n^2$ векторов $ e_i \otimes e_j.$

Основные команды:

• Вывод установленных настроек:
  

   iptables -L

Полезные источники:

1. How to configure iptables on Debian: https://upcloud.com/community/tutorials/...
2. Пример команды редиректа, перенаправления портов: https://askubuntu.com/a/1119096

Покажем теперь, как по билинейной форме на $R$ можно построить линейную функцию на тензорном произведении $ R \otimes R.$ Пусть задана билинейная форма $ f (x, y)$ на $ R.$ Сопоставим ей линейную функцию $ F(X)$ на $ R \otimes R.$ Для элементов $ X = x \otimes y$ положим
$$ F(x \otimes y) = f(x, y);$$
для произвольного $ X = x_1 \otimes y_1 + ... + x_k \otimes y_k$ полагаем
$$ F(X) = f (x_1, y_1) + ... + f(x_k, y_k).$$

В первой главе мы изучилали билинейные функции в аффинном пространстве $R.$ Здесь мы покажем, что билинейные функции можно трактовать и как линейные функции в некотором новом пространстве. Это пространство, играющее очень важную роль, называется тензорном произведением $R$ и $R$ (по-другому, тензорном квадратом $R$) и обозначается $ R \otimes R$ или $ \otimes^2 R.$ Дадим его определение.