fkn+antitotal

Мощность множества всех подмножеств натурального ряда равна мощности континуума.

Мощность континуума - мощность множества действительных (=вещественных) чисел.

Случай несравнимости мощностей двух множеств

Есть два множества (пусть непустых) - ни в одном из них нет части эквивалентной другому множеству.
Из теоремы Цермело следует, что такое невозможно.

Мощность множества - это то общее, что у есть у двух любых эквивалентных между собою множеств.

То есть - мощность это "как бы число элементов, но как бы и не число элементов" -в том смысле, что два бесконечных множества могут иметь равную мощность, хотя число элементов в них не определено.

Поэтому определение в начале данной заметки является наиболее правильным.

ПРИМЕЧАНИЯ:

Теорема Кантора-Бернштейна

формулировка:

Пусть есть два множества А и В.
Если можно взаимно однозначно отобразить всё множество А на часть множества В и при этом также можно взаимно однозначно отобразить всё множество В на часть множества А, то эти два множества (А и В) - эквивалентны.

Будем называть частью множества его подмножество - чтобы сделать формулировки более читаемыми (для простых смертных)

Два множества называются эквивалентными если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие

Биекция - это взаимно однозначное соответствие.

Взаимно однозначное соответствие - это такое соответствие, при котором каждому элементу одного множества отвечает один и только один элемент другого множества - и наоборот.

По книгам:

1. Уолтер Рудин - Функциональный анализ
2. Колмогоров, Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа

Выполнить преобразование типа из std::string в System::String можно таким способом:

std::string text("hey u! =))");
String^ s = gcnew String(text.c_str()); // конвертируем
textBox1->Text = s; // используем в новом формате =)

А вот обратное преобразование System::String в std::basic_string можно выполнить так