Задачи 2005

[Задачи 2005 матан скачать]

Xn
З А Д А Ч И:
1. Пусть последовательность {Xn} сходится и ее предел a>0. Можно ли из {Xn} выделить подпоследовательность, все члены которой отрицательны? (не положительны?).
2. Пусть в некоторой окрестности точки a лежит бесконечно много членов последовательности { }. Следует ли отсюда, что а является пределом последовательности { }? (Что никакая точка вне этой окрестности не является пределом последовательности { }?).
3. Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательно-сти { }. Следует ли отсюда, что а является пределом последовательности { }? (Что по-следовательность { } является ограниченной?)
4. Пусть последовательность {| |} сходится. Будет ли из этого вытекать, что последова-тельность { } будет сходящейся? (Будет ли из этого вытекать, что последовательность { } будет ограниченной?)
5. Пусть последовательность { } сходится и М=sup{ }, m=inf{ }. Докажите, что: либо n такое, что =M; либо k такое, что =m; либо n,k такие, что =M, =m.
6. Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой?
7. Известно, что в некоторой окрестности нуля находится бесконечное число членов по-следовательности. Следует ли отсюда, что последовательность является бесконечно ма-лой? (бесконечно большой? ограниченной?)
8. Пусть последовательность { } сходится, а { } расходится. Докажите, что {c } сходится при любом c, { } расходятся. Постройте примеры, показывающие, что по-следовательность { } может быть как сходящейся, так и расходящейся.
9. Покажите, что для того чтобы монотонно возрастающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.
10. Покажите, что для того чтобы монотонно убывающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.
11. Верно ли утверждение “Если последовательность неограниченна, то из нее нельзя вы-делить сходящуюся подпоследовательность”?
12. Покажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить беско-нечно большую подпоследовательность.
13. Покажите, что если монотонная последовательность является неограниченной, то из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.
14. Пусть последовательность { } такова, что её подпоследовательности , , сходятся. Покажите, что тогда сама последовательность { } будет сходящейся.
15. Пусть , постройте такую последовательность { }, из которой можно выделить две подпоследовательности и , одна из которых сходится к , а вторая - к .
16. Постройте такую последовательность { }, из которой для любого рационального числа r можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к r.
17. Будет ли последовательность, удовлетворяющая условиям задачи 2, ограниченной?
18. Можно ли построить такую последовательность { }, из которой для любого действи-тельного числа а можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к а?
19. Покажите, что из любой ограниченной последовательности { } можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
20. Верно ли утверждение ‘Пусть при всех n и последовательности { } и { } ограничены. Тогда, каковы бы ни были сходящиеся последовательности и , то ”?
21. Существует ли такая последовательность { }, что из любой её подпоследовательно-сти можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность ?
22. Существует ли такая последовательность { }, что из любой её подпоследовательно-сти можно выделить неограниченную частичную подпоследовательность ?
23. Существует ли такая последовательность { }, что из любой её подпоследовательно-сти можно выделить как сходящуюся частичную подпоследовательность так и неог-раниченную частичную подпоследовательность?
24. Пусть из любой подпоследовательности последовательности { } можно выде-лить сходящуюся частичную подпоследовательность . Покажите, что исходная по-следовательность { } будет ограниченной.
25. Пусть из любой подпоследовательности последовательности { } можно выде-лить частичную подпоследовательность , сходящуюся к . Покажите, что исходная последовательность { } будет сходиться к .
26. Для того чтобы последовательность { } сходилась к необходимо и достаточно, чтобы из любой подпоследовательности последовательности { } можно выделить частичную подпоследовательность , сходящуюся к .
27. Из сходящейся последовательности { } произвольным образом выбира-ем бесконечное число членов { } Покажите, что из любой подпоследовательности последовательности { } можно выделить частичную последовательность , сходящуюся к .
28. Из сходящейся последовательности { } произвольным образом выбира-ем бесконечное число членов { } Покажите, что последовательность { } сходится. Найдите предел этой последовательности.