Математический анализ вопросы к экзамену (матан фкн вгу вопросы за два семестра Скляднев С.А.)

Контрольно-измерительные материалы для зачетов, экзаменов и курсовых работ

1 семестр

№ п/п Перечень вопросв

01 Множества. Операции над множествами.

02 Множества целых, рациональных и иррациональных чисел. Свойства рациональных чисел.

03 Равномощные множества. Счетные множества.

04 Счетность множества рациональных чисел.

04 Аксиоматика вещественных чисел.

05 Принцип Архимеда.

06 Принцип вложенных отрезков.

07 Несчетность множества вещественных чисел.

08 Ограниченные множества. Верхняя и нижняя граница множества. Точная верхняя и точная нижняя граница множества. Теорема о существовании точной верхней и точной нижней границы множества.

09 Определение предела числовой последовательности.

10 Теорема об единственности предела последовательности.

11 Теоремы о предельном переходе в неравенствах.

12 Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

13 Бесконечно малая последовательность. Арифметические операции над бесконечно малыми последовательностями.

14 Арифметические операции над сходящимися последовательностями: предел суммы, произведения, частного последовательностей.

15 Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.

16 Определение числа е как предела последовательности.

17 Определение подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности ограниченной последовательности.

18 Последовательности Коши (фундаментальные последовательности). Критерий Ко-ши существования предела последовательности.
19 Частичные пределы последовательности. Верхний и нижний пределы, существование верхнего и нижнего предела.
20 Равенство верхнего и нижнего предела последовательности и существование пре-дела последовательности.
21 Представление вещественных чисел в виде десятичных дробей.
22 Открытые множества вещественных чисел. Свойства открытых множеств (объединение и пересечение).
23 Замкнутые множества, точки прикосновения. Описание замкнутых множеств.
24 Предел функции. Определение Гейне. Простейшие свойства предела (предел сум-мы, произведения частного функций).
25 Определение предела функции по Коши. Эквивалентность определения предела функции по Гейне и по Коши.
26 Понятие одностороннего предела. Определение монотонной функции, существование односторонних пределов у монотонной функции.
27 Признак существования предела функции в терминах последовательностей. Кри-терий Коши существования предела функции.
28 Непрерывные функции в точке области определения. Свойства непрерывных функций.
29 Предел сложной функции. Непрерывность сложной функции.
30 Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции.

31 Теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции.
32 Теорема Больцано—Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
33 Точки разрыва функций. Классификация точек разрыва.
34 Свойства строго монотонной непрерывной функции на отрезке. Существование обратной функции.
35 Существование обратной функции к строго монотонной непрерывной функции на интервале.
36 Тригонометрические функции. Непрерывность тригонометрических функций.
37 Определение показательной функции вещественной переменной. Непрерывность показательной функции. Свойства показательной функции. Определение показа-тельной функции вещественной переменной. Непрерывность показательной функции. Свойства показательной функции.
38 Определение логарифмической функции вещественной переменной. Определение степенной функции. Простейшие свойства логарифма и степенной функции.
39 Замечательные пределы.
40 Равномерно непрерывная функция. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на отрезке.
41 Сравнение функций. Асимптотически равные, асимптотически эквивалентные функции. Символы O(f) и o(f .
42 Производная. Простейшие свойства производной.
43 Геометрический смысл производной.
44 Производная обратной функции.
45 Производная сложной функции.
46 Дифференциал функции.
47 Производные и дифференциалы высших порядков.
48 Теорема Ферма и теорема Ролля.
49 Теорема Лагранжа о среднем. Теорема Коши о среднем.
50 Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя..
51 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

52 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
53 Признаки возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Признак экс-тремума.
54 Выпуклые и вогнутые функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости функции.
55 Точки перегиба. Достаточные условия точки перегиба.
56 Асимптоты функции.

2 семестр

№ п/п Перечень вопросов

57 Предел функции двух переменных.

58 Непрерывные функции двух переменных. Приращение функции двух пе-ременных.

59 Частные производные.

60 Дифференцируемые функции двух переменных.

61 Дифференциал функции двух переменных. Достаточное условие дифференцируе-мости.
62 Дифференцирование сложной функции.
63 Дифференцирование сложной функции двух переменных.
64 Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
65 Частные производные высших порядков.
66 Признаки экстремума в терминах частных производных второго порядка.
67 Функции, заданные неявно. Условие существования дифференцируемой функции, заданной неявно. Частные производные функций, заданных неявно.
68 Условный максимум и минимум. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума.
69 Производные по направлению. Градиент функции двух и трех переменных. Геометрическое описание вектора градиента.
70 Кривые на плоскости и в пространстве, заданные параметрически. Геометрический смысл вектора производной по параметру гладкой кривой
71 График функции двух переменных. Касательная плоскость к графику. Уравнение касательной плоскости к графику.
72 Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением F(x, у, z) = С.
73 Комплексные числа. Алгебраические операции во множестве комплексных чисел. (Сложение, умножение, деление.).
74 Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в триго-нометрической форме.
75 Формула Муавра. Извлечения корня из комплексного числа.
76 Понятие функции комплексного переменного. Показательная функция комплексного переменного. Свойства показательной функции.
77 Формулы Эйлера. Тригонометрические функции комплексного переменного. Свойства комплексных тригонометрических функций.
78 Определение производной функции комплексного переменного. Свойства производных функций комплексного переменного.
79 Условие Коши-Римана. Теорема Меньшова. Производные элементарных функций: показательной функции и тригонометрических функций.
80 Понятие голоморфной функции. Примеры голоморфных функций.
81 Двойной интеграл. Определение и простейшие свойства.
82 Вычисление двойного интеграла с помощью повторного.
83 Замена переменных в двойном интеграле.
84 Полярные координаты. Двойной интеграл в полярных координатах.
85 Площадь поверхности графика функции двух переменных.
86 Криволинейные интегралы второго рода. Свойства криволинейных интегралов. Формула для вычисления криволинейного интеграла. Физический смысл криволинейного интеграла.
87 Формула Грина.
89 Криволинейные интегралы, независящие от пути интегрирования.
90 Потенциальные векторные поля. Признак потенциальности векторного поля.

91 Тройные интегралы. Простейшие свойства. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу.
92 Поверхностные интегралы первого рода. Формула для вычисления поверхностного интеграла.
93 Ориентируемые поверхности. Поверхностные интегралы второго рода по >риентируемой поверхности. Связь интегралов первого и второго рода. Физический мысл поверхностного интеграла второго рода.
94 Формула Стокса. Ротор векторного поля.
95 Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля.
96 Числовые ряды. Частичные суммы ряда. Сходимость числовых рядов. Примеры сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.
97 Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды. Теорема Тейлора о разложении в степенной ряд голоморфной функции.
98 Разложение в степенной ряд элементарных функций: ez, sin(z), cos(z .

99 Основные свойства степенных рядов. Лемма Абеля о сходимости степенного ряда. Теорема единственности для степенных рядов. Дифференцирование степенных рядов
100 Интеграл по комплексной переменной. Интегральная теорема Коши для голоморфной функции. Построение первообразной для голоморфной функции в односвязной области.
101 Логарифм как голоморфная функция. Разложение в степенной ряд функции ln(l+z)
102 Определение любой степени комплексного числа. Разложение в степенной ряд функции (l+z)m .
103 Интегрирование степенных рядов
104 Положительные ряды. Независимость суммы положительного ряда от перестановки го членов. Свойства положительных рядов
105 Признаки сходимости положительных рядов. Признак сравнения рядов. Признак Даламбера. Признак Коши.
106 Несобственные интегралы. Интегральный признак сходимости положительного ряда.
107 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося
ряда.
108 Абсолютная сходимость вещественных и комплексных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Абсолютная сходимость степенных рядов.
109 Нули голоморфных функций. Первая теорема единственности для голоморфных функций.
110 Порядок нуля голоморфной функции. Изолированность нулей голоморфной функции. Вторая теорема единственности, ее применения.
111 Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
112 Дифференцирование и интегрирование равномерно сходящихся функциональных рядов.
113 Тригонометрические ряды. Вычисление коэффициентов сходящегося тригонометрического ряда,
114 Ряд Фурье периодической функции. Признак Дирихле сходимости ряда Фурье для кусочно-монотонной периодической функции.
115 Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряды Фурье для периодических функций с произвольным периодом. Ряд Фурье в комплексной форме.
116 Среднее квадратичное отклонение. Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

Критерии оценок

Оценка Критерии оценок
Отлично Студент правильно понимает и может изложить содержание каж-дого вопроса программы экзамена.
Хорошо Студент правильно понимает содержание всех вопросов про-граммы экзамена. Допускает неточности при изложении ответов на вопросы экзамена..
Удовлетворительно Студент правильно понимает основные положения курса, однако при изложении некоторых вопросов допускает ошибки существен-ного характера.
Неудовлетворительно Студент допускает грубые ошибки при изложении ряда вопросов экзамена, и/или демонстрирует существенные пробелы в освоении программы
Зачтено Студент выполнил более 1/3 домашних заданий в срок или более 2/3 домашних заданий по итогам работы в семестре.
Не зачтено Студент не выполнил критерии, установленные для получения оценки «зачтено».

.

ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЙ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Специальность/направление 230200 «Информационные системы»

Дисциплина Математический анализ

Уровень образования Высшее проф. обр. (бакалавр)

Форма обучения очная

Учебный год 2009-2010

РЕКОМЕНДОВАНА заседанием кафедры цифровых технологий

протокол от 08.09.2009 № 9