пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нём, имеющих пустое пересечение

На последней встрече мы рассматривали такую задачу (Учебник Колмогорова):

Привести пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нём, имеющих пустое пересечение.

Вы решили её, приведя в качестве примера функционал ( ||f|| = 1), норма которого не достигается.
Дело в том, что нормированные пространства рассматриваюся только в следующей главе (через 70 страниц) - а та глава, что мы смотрели, о метрических пространствах.

У меня вот какой вопрос - может есть какое-то решение без введения нормы? по-идее здесь мы должны лишь задать метрику и набор значений.