#23 Действия с нулем

Сложение. Прибавление нуля к некоторому числу оставляет последнее неизменным:
$$
5+0=5; \ 3 \dfrac{5}{7} + 0 = 3 \dfrac{5}{7}.
$$
Вычитание. Вычитание ну ля из какого-либо числа оставляет последнее неизменным:
$$
5-0=5; \ 3 \dfrac{5}{7}-0= 3 \dfrac{5}{7}.
$$
Умножение. Произведение нуля на любое число равно нулю:
$$
5 \cdot 0 = 0; \ 0 \cdot 3 \dfrac{5}{7}=0; \ 0 \cdot 0=0.
$$
Деление.
$1$. Частное от деления нуля на какое-либо число, отличное от нуля, равно нулю:
$$
0 : 7 =0; \ 0 : \dfrac{3}{950}=0.
$$
$2$. Частное от деления нуля на нуль неопределенно.
В этом случае любое число удовлетворяет определению частного ( #9, п.4). Например, можно положить $0 : 0= 5$, так как $5 \cdot 0= 0$; но с равным правом $0 : 0= 3 \dfrac{5}{7}$, так как $3 \dfrac{5}{7} \cdot 0= 0$. Можно сказать, что задача деления нуля на нуль имеет бесчисленное множество решений, и без указания дополнительных данных действие $0 : 0$ не имеет смысла. Дополнительные данные должны состоять в указании того, каким образом изменялись величины делимого и делителя до того, как они стали нулями. Если это известно, то в большинстве случаев можно выражению $0: 0$ придать смысл. Так, если известно, что делимое принимало последовательно значения
$$
\dfrac{3}{100}, \ \dfrac{3}{1000}, \ \dfrac{3}{10 \ 000} \ и \ т. \ д.,
$$
а делитель $ \dfrac{7}{100}, \ \dfrac{7}{1000}$ и т. д" то частное в это время было $\dfrac{3}{100} : \dfrac{7}{100}= \dfrac{3}{7}; \ \dfrac{3}{1000} : \dfrac{7}{1000}$ и т.д., т. е. оставалось равным $\dfrac{3}{7}$, поэтому и частное $0 : 0$ считается здесь равным $\dfrac{3}{7}$.

В подобных случаях говорят о "раскрытии неопределенности $0: 0$" (см. VI, § 12, пример 2). Для раскрытия неопределенности $0 : 0$ существует ряд общих приемов, изучаемых высшей математикой, но во многих случаях удается обойтись и средствами элементарной математики.

$3$. Частное от деления какого-либо числа, отличного от нуля, на нуль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворить определению частного (#9, п.4).

Напишем, например, $7: 0$; какое бы число ни взять на пробу (скажем, $2$, $3$, $7$), оно не подходит (так как $2 \cdot 0= 0$; $3 \cdot 0= 0$; $7 \cdot 0= 0$ и т. д., а нужно получить в произведении $7$). Можно сказать, что задача о делении на нуль числа, отличного от нуля, не имеет решения.

Однако число, отличное от нуля, можно разделить на число, как угодно близкое к нулю, и чем ближе делитель к нулю, тем больше будет частное. Так, если будем делить $7$ на $\dfrac{1}{10}, \ \dfrac{1}{100}, \ \dfrac{1}{1000}, \ \dfrac{1}{10 \ 000}$ и т. д., то получим частные $70$, $700$, $7000$, $70 \ 000$ и т. д., которые неограниченно возрастают. Поэтому часто говорят, что частное от деления $7$ на $0$ « бесконечно велико», или «равно бесконечности», и пишут $7 : 0 = \infty$. Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным $7$ (или приближается к $7$), то частное неограниченно увеличивается.