§24.4 Тензоры в евклидовом пространстве

Если $R$ есть $n$-мерное евклидово пространство, то, как мы видели в пункте 5 параграфа 23, можно установить изоморфное соответствие между $R$ и $R'$ так, что если $y \in R$ соответствует элементу $ f \in R',$ то
$$ (f, x) = (y, x)$$
для любого $ x \in R.$

§24.3 Определение тензора

Объекты, с которыми мы встречались на протяжении этой книги (векторы, линейные функции, линейные преобразования, билинейные функции и т. д.), определялись в каждом базисе своей системой чисел. Например, вектор определяется в каждом базисе системой $n$ чисел - своими координатами. Линейная функция определяется в каждом базисе также системой $n$ чисел - своими коэффициентами. Линейное преобразование определяется в каждом базисе системой $ n^2$ чисел - матрицей линейного преобразования. Билинейгпя функция определяется в каждом базисе системой $ n^2$ чисел - матрицей этой билинейной формы.

§24.2 Выражения для полилинейной функции в данной системе координат. Переход от одной системы координат к другой

Выясним, как выражается полилинейная функция через координаты тех векторов, от которых она зависит. Для того чтобы не писать слишком длинных формул, проведем рассмотрение на случае полилинейной функции $ l (x, y ; f),$ зависящей от двух векторов из $R$ и одного вектора из $ R'$ [функция типа (2, 1)].

§24.1 Полилинейные функции

В первой главе мы изучили линейные и билинейные функции в $n$-мернос аффинном пространстве. Их естественным обобщением являются Полилинейные функции, зависящие от произвольного числа векторов. При этом мы будем рассматривать функции, зависящие как от векторов из $ R,$ так и от векторов из $ R'.$

§23.5 Пространство, сопряженное к евклидову.

Ограничимся для простоты евклидовых пространством над полем действительных чисел.

Лемма. Пусть $R$ есть n-мерное евклидово пространство. Тогда каждую линейную функцию в нем можно записать в виде
$$ f(x) = (x, y),$$
где $y$ - фиксированный вектор, однозначно определяемый линейной функцией $f.$ Обратно, каждый вектор $y$ определяет линейную функцию $ f (x) = (x, y).$

§23.4 Преобразования координат в $R$ и $R'.$

Если мы рассматриваем координаты векторов $ x \in R$ в некотором базисе $e_1, e_2, ..., e_n$, то координаты векторов $ f \in R'$ мы будем, как правило рассматривать в базисе $ f^1, f^2, ..., f^n$, взаимном к базису $ e_1, e_2, ..., e_n.$ Перейдем в $ R$ от базиса $ e_1, e_2, ..., e_n$ к новому базису $ e_1', e_2', ..., e_n',$ и пусть
$$ e_i' = c_i^k e_k \qquad \qquad (6)$$
- формулы перехода.
Обозначая через $f^1, f^2, ..., f^n$ базис, взаимный с базисом $ e_1', e_2,' ...., e_n',$ найдем матрицу $ || b_i^k||$ перехода от базиса $ f^i$ к базису $ f^i$.

§23.3 Взаимозаменяемость $R$ и $R'$.

В предыдущем изложении $R$ и $R'$ играли различную роль. Мы покажем, что они совершенное равноправны, т. е. что теоремы останутся справедливыми, если мы поменяем их ролями.

Мы определили $R'$ как совокупность линейных функций в $R.$ Чтобы установить равноправность $R$ и $R'$, докажем, что всякая линейная функция $ \phi (f)$ в $R'$ может быть записана в виде $ (f, x_0)$, где $x_0$-фиксироварный вектор из $R.$

§23.2 Биортогональные (взаимные) базисы.

В дальнейшем мы будем значение линейной функции $f$ в точке $x$ обозначать через $(f, x)$. Таким образом каждой паре $f \in R'$ и $ x \in R$ отнесено число $ (f, x),$ причем
1° $(f, x_1 + x_2) = (f, x_1) ,+ (f, x_2), \\
2° (f, \lambda x) = \lambda (f, x), \\
3° (\lambda f, x) = \lambda (f, x), \\
4° (f_1 + f_2, x) = (f_1, x) + (f_2, x). $
Первое и второе из этих соотношений - это записанные в новых обозначениях равенства
$$ f(x_1 + x_2) = f (x_1) + f(x_2) \text{и} f(\lambda x) = \lambda f (x), $$

15.2 Урок (тестовый) Линейные преобразования.

Линейное преобразование любого множества объектов, представляет собой преобразование каждого объекта, удовлетворяющее условиям линейности, а именно:
1) $ f(x+y)=f(x)+f(y)$;
2) $f( \alpha x)=\alpha f(x) $.
Где применяется эти линейные преобразования? Например, в компьютерном зрении. Когда ставится задача преобразовать изображение: увеличить яркость пикселей, увеличить контрастность.

Решение №4 из главы 15.Запишите в массив целых чисел (из 3 элементов) все нечетные отрицательные

Задача №4 из главы 15

Пользователь вводит целые числа в цикле. Запишите в массив целых чисел (из 3 элементов) все нечетные отрицательные. Как только массив будет заполнен, завершите цикл ввода новых значений пользователем и распечатайте полученный массив.

Pages

Subscribe to fkn+antitotal RSS