fkn+antitotal

Если $R$ есть $n$-мерное евклидово пространство, то, как мы видели в пункте 5 параграфа 23, можно установить изоморфное соответствие между $R$ и $R'$ так, что если $y \in R$ соответствует элементу $ f \in R',$ то
$$ (f, x) = (y, x)$$
для любого $ x \in R.$

Объекты, с которыми мы встречались на протяжении этой книги (векторы, линейные функции, линейные преобразования, билинейные функции и т. д.), определялись в каждом базисе своей системой чисел. Например, вектор определяется в каждом базисе системой $n$ чисел - своими координатами. Линейная функция определяется в каждом базисе также системой $n$ чисел - своими коэффициентами. Линейное преобразование определяется в каждом базисе системой $ n^2$ чисел - матрицей линейного преобразования. Билинейгпя функция определяется в каждом базисе системой $ n^2$ чисел - матрицей этой билинейной формы.

Выясним, как выражается полилинейная функция через координаты тех векторов, от которых она зависит. Для того чтобы не писать слишком длинных формул, проведем рассмотрение на случае полилинейной функции $ l (x, y ; f),$ зависящей от двух векторов из $R$ и одного вектора из $ R'$ [функция типа (2, 1)].

В первой главе мы изучили линейные и билинейные функции в $n$-мернос аффинном пространстве. Их естественным обобщением являются Полилинейные функции, зависящие от произвольного числа векторов. При этом мы будем рассматривать функции, зависящие как от векторов из $ R,$ так и от векторов из $ R'.$

Ограничимся для простоты евклидовых пространством над полем действительных чисел.

Лемма. Пусть $R$ есть n-мерное евклидово пространство. Тогда каждую линейную функцию в нем можно записать в виде
$$ f(x) = (x, y),$$
где $y$ - фиксированный вектор, однозначно определяемый линейной функцией $f.$ Обратно, каждый вектор $y$ определяет линейную функцию $ f (x) = (x, y).$

Если мы рассматриваем координаты векторов $ x \in R$ в некотором базисе $e_1, e_2, ..., e_n$, то координаты векторов $ f \in R'$ мы будем, как правило рассматривать в базисе $ f^1, f^2, ..., f^n$, взаимном к базису $ e_1, e_2, ..., e_n.$ Перейдем в $ R$ от базиса $ e_1, e_2, ..., e_n$ к новому базису $ e_1', e_2', ..., e_n',$ и пусть
$$ e_i' = c_i^k e_k \qquad \qquad (6)$$
- формулы перехода.
Обозначая через $f^1, f^2, ..., f^n$ базис, взаимный с базисом $ e_1', e_2,' ...., e_n',$ найдем матрицу $ || b_i^k||$ перехода от базиса $ f^i$ к базису $ f^i$.

В предыдущем изложении $R$ и $R'$ играли различную роль. Мы покажем, что они совершенное равноправны, т. е. что теоремы останутся справедливыми, если мы поменяем их ролями.

Мы определили $R'$ как совокупность линейных функций в $R.$ Чтобы установить равноправность $R$ и $R'$, докажем, что всякая линейная функция $ \phi (f)$ в $R'$ может быть записана в виде $ (f, x_0)$, где $x_0$-фиксироварный вектор из $R.$

В дальнейшем мы будем значение линейной функции $f$ в точке $x$ обозначать через $(f, x)$. Таким образом каждой паре $f \in R'$ и $ x \in R$ отнесено число $ (f, x),$ причем
1° $(f, x_1 + x_2) = (f, x_1) ,+ (f, x_2), \\
2° (f, \lambda x) = \lambda (f, x), \\
3° (\lambda f, x) = \lambda (f, x), \\
4° (f_1 + f_2, x) = (f_1, x) + (f_2, x). $
Первое и второе из этих соотношений - это записанные в новых обозначениях равенства
$$ f(x_1 + x_2) = f (x_1) + f(x_2) \text{и} f(\lambda x) = \lambda f (x), $$

Линейное преобразование любого множества объектов, представляет собой преобразование каждого объекта, удовлетворяющее условиям линейности, а именно:
1) $ f(x+y)=f(x)+f(y)$;
2) $f( \alpha x)=\alpha f(x) $.
Где применяется эти линейные преобразования? Например, в компьютерном зрении. Когда ставится задача преобразовать изображение: увеличить яркость пикселей, увеличить контрастность.

Задача №4 из главы 15

Пользователь вводит целые числа в цикле. Запишите в массив целых чисел (из 3 элементов) все нечетные отрицательные. Как только массив будет заполнен, завершите цикл ввода новых значений пользователем и распечатайте полученный массив.