лекция 4 - История и методология математки - матфак вгу - Каплан

Вместо вступления( отношения к лекции не имеет=):

В одной из книг Евклида впервые в истории математики появляется "задача на максимум" - утверждается и доказывается что наибольшую из всех прямоугольников с данным периметром площадь имеет квадрат

Лекция 4 (4-ая суббота) - 2 ноября 2013

Каплан - история и методология математики

На предыдущей лекции в конце мы выяснили что появление европейской математики не означало исчезновение греческого варианта-
В частности свое развитие получила теория чисел которую по праву можно назвать продолжением традиции греческой математики

Итак - европейская математика отличалась от греческой не только целями исследования но и объектами последнего - вместо натуральных чисел и геометрических фигур в европейском варианте исследуются, прежде всего, функции и формулы

Читать Левича интересно но верить ему надо осторожно-
Например утверждение о том что европейская математика сосредоточилась на функциях и формулах-
Это начиная с 17ого века

с начала 17-ого века мы говорим о третьем периоде развития математики
Европейская теоретическая математика принципиально отличается от европейской прагматической математики

Но что есть что?
Вариационное исчисление - это что?

Третий период - вторая интеллектуальная революция(после греческой)
Здесь есть своя интеллектуальная тройка-

1. Европейская физика
2. Европейская математика
3. Европейская философия

Но в отличии от Греции на первом месте оказывается физика а не философия
А математика становится просто языком естествознания

Таким образом европейская теоретическая математика была языком теоретической физики

В чем же принципиальное отличие теоретической математики от практической?
Основным отличием является то, что теоретическая математика пыталась получить и по возможности доказать утверждения -
В то время. Как прагматическая своей целью ставила получение способов вычислений - то есть в результате числа или группы чисел

То есть непрерывная математика работает с непрерывными величинами
Впрочем некоторые вообще не признаю так называемые непрерывные вещи

Полтора года назад один японец выиграл миллион баксов за то что быстрее других вспомнил тысячу знаков после запятой - гениально ли это?
Таким образом наш любимый Левич говорит о том что в Европе изучают С одной стороны европейская математика изучает прагматические а. С другой стороны теоретические числа

Но вот вопрос- число пи оно как - прагматическое или теоретическое?

Судя по всему - это теоретическое число
Вспомним знаменитую задачу - так называемую проблему квадратуры круга-

Построить Круг. С помощью циркуля и линейки - такой чтобы он был по площади равен данному квадрату

современная алгебра показывает, что подобные задачи на построение имеют решение в случае если они сводятся в алгебраической интерпретации к уравнениям второго порядка - кубические же варианты (третье порядка) с помощью построения не разрешимы

Где-то сто лет назад доказали что число е не является алгебраическим

Но вернемся к прагматическому - в принципе если число пи округлить то оно Станет вполне алгебраическим

Двигаемся дальше
Теоретическая математика является непрерывной а прагматичека оперирует дискретными наборами прагматических чисел
Здесь следует добавить что непрерывная математика это одно течение и прагматическая - иное
В 20-ом же веке эти два течения окончательно расходятся и становятся двумя разными направлениями математики
так появляется дискретная математика - математика конечных наборов конечных величин

Архимед понял в свое время что можно складывает фигуры получая иные
На своем надгробии он попросил выбить геометрические фигуры

Гаусс попросил на своей могиле выбить правильный семнадцатиугольник - одну из фигур, которую можно построить с помощью циркуля и линейки

Итак - Архимед считал что результат с конусом шаром и цилиндром перекрывает все его мыслительные результаты
это связано с тем что в Греции практические приложения среди высоких умов популярностью не пользовались - так как считалось что все вещи связанные с получением выгоды - например, механика - не относятся к познанию чистой истины (так в частности говорит историк математики Ян Дирак Стройка)

В 19 веке появляется новый раздел - математическая логика -
Она принципиально отличается как от практической, так и от теоретической математики -
Здесь исследуются, прежде всего, элементы математического доказательства -
Таким образом, математическая логика относится к метаматематике
и имеет более высокий уровень абстракции чем предыдущая математика

Европейская интеллектуальная революция в той ее части которая относится математике в основном закончилась ко второй половине 19 века

19 век

К этому времени математический анализ который относится к теоретической математике - превращается в аксиоматическую теорию

Математика которая служит языком моделирования для объектов которые к самой математике не относится а также поставляет модели для этих объектов является прикладная математика
В то время как чистая математика занимается моделированием чисто математических объектов

но предыдущее очень строго - так как на можно сказать что данное деление допустимо осуществлять на основе типа источника задачи - если математическая теория- то это чистая математика, а если из жизни - то вроде как прикладная

Владимир Михайлович Тихомиров который работал в 60-е годы в ВГУ весьма изящно пишет о знаменитых задачах древности
Знаменитая задача Дедона - по легенде связана с вопросом о том какую максимальную площадь можно ограничить ремнем из бычьей шкуры - выяснили что надо стремится к квадрату

Таким образом мы разобрались что математика может быть прикладной или не прикладной - правда после того как задача поставлена - нет разницы - она и там и там может быть или трудной или простой - или решаемой или не решаемой.

Итак, во второй половине 19-ого века математика делится на прикладную и так называемую- чистую
Отметим два принципиальных отличия прикладной математики от прагматической
Во первых - в прикладной математике доказывают определенные утверждения
А в прагматической же приходят к числу или набору чисел

Теорема Лагранжа -
Существует такое число что производная умноженная на приращение аргумента даст прирощение функции - на данном отрезке приращения-

Это чистая теорема существования- то есть тут нет никаких конкретных чисел

Сейчас вроде как ни с кого ничего не спрашивают на экзамене
А раньше - по легендам вроде спрашивали
Так вот -

спрашивают значит одну девушку о вышеупомянутой теореме - ну теорему она - формулу точнее нарисовала - а ее спрашивают - а где собственно лежит это число - точка где берется производная - здесь надо было бы ответить
Что точка лежит на отрезке

К теоремам существования у некоторых математиков до сих пор неоднозначное отношение

Во- вторых прикладная математика оперирует математическими числами, а прагматическая математика оперирует прагматическими числами

европейская математика
В 18-ом веке занялась Статистикой и решением проблем навигации - в 19-ом же веке значительно возрастает объем инженерных расчетов
употребление словосочетания прикладная математика современного человека может ввести в определенное заблуждение
Дело в том что смысл этого словосочетания менялся во времени
До Галилея и Ньютона такого термина не существовала -
Так как тогда математика рассматривалась как часть философии или как интеллектуальный спорт
ньютон был тем кто спустил математику с небес чистого умозрения - на землю физических расчетов с тех пор математический анализ стал частью прикладной математики-

Однако полностью подчинить математику практики не удалось - так как ей часто занимались те люди, которые к практическим задачам имели весьма посредственное отношение

В то время для решения практических задач вполне хватало прематематики
единственное исключение этого времени - астрономия
Только технологический прогресс 9-ого века уже крепко и навсегда приковывает к себе математику - так появляется математика прикладная

После второй мировой перед человечеством появляются новые проблемы-

• Экономики
• Управления
• Военного командования

Оказалось что прежние формулировки естественных задач - плохо подходят для описания вышеперечисленных явлений- для их решения потребовалась новая методологи - с новыми методами решения - в частности потому что в отличии от естествознания в этих областях трудно или вообще невозможно провести эксперимент

Так происходит мировая интеллектуальная революция
Возникает - как говорит Левич- мировая наука

Объектами исследования мировой науки являются так называемые сложные системы - экономические и социальные системы
Целью мировой науки является прогнозирования принятия управленческих решений (интересно да?)

Весной в ВГУ был приезжий профессор из забугорья - Малинецкий-
Кстати есть его статья - " ЕГЭ как угроза национальной безопасности"
Так вот он занимается рисками - работает в области прикладной математики

Вот такие вот цели у мировой науки
В-третьих - как мы уже упомянули - в мировой науке эксперименты уже не возможны

Одной из отраслей мировой науки является мировая математика - она вся целиком относится к прикладному и прагматическому типу(если их вообще стоит различать в смысле Левича)

Мировая математика создалась из трех направлений

1. Исследование операций
2. Кибернетика
3. Системный подход

Каждое из этих направлений внесло свой специфический вклад в появление и развитие мировой математики
Сюда входят

• Линейное и нелинейное программирование
• Теория запасов
• и т д

Вклад кибернетики в мировую математику имеет в значительной степени методологический характер - хотя и здесь появляются отрасли такие как - теория информации
Однако основное значение теории информации заключается в методологии - оно открыло путь для использования общей теории моделирования на различных формализованных языках

Третье направление - системный поход - опять же носит преимущественно методологический характер
Базисным е понятием является понятие системы
Одном из основных свойств объекта, изучаемого мировой наукой, является его сложность

Система- объект - больше чем сумма его частей

Методология европейской науки рассматривала вселенную как гигантский механизм который подчиняется законам движения-
Такой подход является основной причиной неудачи в его использовании для изучения экономических и управленческих явлений

омские математики - аналитическая химия - решили посмотреть на одну вещь-
Математика нужна им для обработки различных результатов исследования
Два списка - то что нужно и то что дают- совпадают процентов на тридцать
Ну например - им оказалось нужно решать Алгебраические уравнения 15-ой степени

До настоящих статистических закономерностей и методов можно найти только через теорию вероятности
Непрерывная случайная величина - это несобственные интегралы
В биологии для построения моделей требуется решать дифференциальные уравнения

Но всю математику знать нельзя да и может и не нужно
но это не значит что отказываться от математики - так как именно она по выражению Ломоносова приводит ум в порядок

---------конец первой пары--------

Дальше читаем Левича -
Системный подход, как и кибернетика, вынужден обращаться к математике чтобы получить определенный формализованный язык для описания свойств изучаемых объектов - то есть системный подход требует создания определенной математики которая является частью мировой математики

В качестве примера можно привести формализацию процесса принятия решения

Дальше опять тема про то что учителя в школе якобы ничего не делают.....
Про то что Рособрнадзор ничего не делает(хотя это более справедливо)

Вернёмся к предмету:
Большинство проблем которые приходится решать в рамках мировой математики требуют выполнения значительного объема вычислений-
Такие задачи удается решать только с третьей трети 20-ого века - то есть с появлением мощных компьютеров-
Кроме того компы стали важнейшим инструментом для моделирования сложных объектов

Вспомним о нашем законе об образовании-
Жорес Алферов - председатель общественной палаты - отказался за три дня внимательно изучить закон - в связи с тем что закон был никакой да еще и объемный

Левич писал книгу, которую мы тут частями вспоминаем в 2008 году
Точнее видимо в этом году она вышла

За это время все могло значительно измениться- ну не то чтобы в смысле Египта но в смысле современности

Лирическое отступление:
Кстати- по мнению преподавателя - реформа Колмогорова также была неудачной
Так в 77 году вроде как нас лишили геометрии
Появились религиозные штуки типа дискриминанта в квадратном уравнении

Так, по мнению части преподавателей ВГУ за последние пять лет ЕГЭ окончательно себя дискредитировал

Все компьютеры обладают одной важной особенностью - это особенность заключается в том что каждый комп работает с Числами так сказать фиксированной разрядности

наше примечание: существовали так называемые аналоговые машины - так требовалось рассчитать колебания моста при проходе по нему сложных грузовиков - можно было построить такую электрическую цепь, которая этот мост смоделировала бы - так вот рассчитали что при определенных условиях в одной из внутренних возникает резонанс - ВГУшных математиков послушали и рядом с указанной точкой поставили колонну
Расчет выполняли на 4-ом куре на практике

итак, числа с ограниченной разрядностью можно называть компьютерные числа - так как при арифметических операциях их неизбежно приходится округлять

Компьютерная математика часть мировой
типы математик также отличаются и целями

возможности компьютерной математики в проведении исследования являются более широкими чем возможности теоретической и прагматической математики - это можно объяснить:
В первых компьютерная математика в отличие от других типов является экспериментальной наукой в полном смысле этого слова

Раньше масштабно считать никто не мог. Теперь же на компьютере можно попробовать "что угодно"

Во вторых компьютерная математика позволяет не только считать но и осуществлять моделирования логических операторов - что делает возможность получить новые знания на основе предыдущих
В-третьих - технологические особенности компьютеров могут позволить нам осуществить новые неосуществляемые до их пор методы исследования - например статистическое моделирование методом Монте-Карло

Левич пишет в завершении - весь исторический экскурс необходим для обоснования ряда методологических проблем математики - а дальше переходит к этим проблемам.

---------конец лекции 2.11.2013-------------