композиция

Упражнение 7.

Для того, чтобы ввести понятие группы преобразований, необходимо ввести понятие композиции (или умножения) двух преобразований.

Композиция преобразований - определение

Пусть
$$
A:M\to M,\ \ B:M\to M.
$$
Под преобразованием $ AB$ (их композицией) мы будем подразумевать преобразование
$$
(m)AB=\left( (m)A \right)B,\ \ \forall m\in M.
$$

Наличие композиции (некоторой операции, обозначим её звёздочкой - $\Large *$) для множества некоторых элементов подразумевает, что есть возможность двум любым элементам из этого множества сопоставить третий элемент, той же "природы", что и первые два:

$\Large A * B = C$

При этом:

1. Под композицией может подразумеваться любая операция, например умножение или сложение.
2. Знак операции может вообще отсутствовать (как это часто делают при записи умножения).