fkn+antitotal

Здесь полезно отвечать следующее:

1. Принцип сжимающих отображений

Множество (семейство) функций A называется равностепенно непрерывным, если для любой функции$\Large f \in A$ выполнено:
$\Large \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists \delta > 0 : \forall x_1,x_2, |x_1 - x_2|

$\Large C[a, b]$ - это обозначение для пространства функций, напрерывных на отрезке $\Large [a, b]$

Норму в этом пространстве определяют так:
$\Large ||x|| = \underset{t \in [a, b]}{max} |x(t)|$

Множество называется относительно компактным, если его замыкание является компактным множеством.

Теорема Арцела (ударение на последнюю букву "а") отвечаает на вопрос об условиях относительной компактности множества.

Теорема Арцела

формулируется так:
Пусть у нас есть некоторое множество A в пространстве $\Large C[a, b]$. Для того чтобы данное множество A было относительно компактным необходимо и достаточно , чтобы A (одновременное выполнение двух требований):

Если $\Large |f'(x)| \leq C$ (на бесконечности или конечном отрезке) ,то $\Large f(x)$ - равномерно непрерывна.

То есть имется требование ограниченности производной.

Если каждое бесконечно подмножества пространства имеет предельную точку, то оно сепарабельно

то есть если имеется возможность изкаждой последовательности выделить предельную (сходящуюся?) подпоследовательность, которая будет сходится к данной точке.

Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие

Выделяют две категории топологических пространств:

1. Топологические пространства, допускающие счётное покрытие нигде не плотными подмножествами, относятся к пространствам первой категории Бэра
2. не допускающие такого покрытия — к пространствам второй категории Бэра

Также известна теорема Бэра о категориях

Нигде не плотное множество