Топологическое пространство - определение

Топологическое пространство - множество с дополнительной структурой определённого типа (так называемой топологией).

Такой структурой является система подмножеств данного множества (назовём её $\Large T$) обладающая следующими свойствами:

1. объединение произвольного числа множества из $\Large T$ также принадлежит $\Large T$
2. пересечение конечного числа множеств из $\Large T$ также принадлежит $\Large T$
3. среди элементов топологии (то еть системы подмножеств $\Large T$ ) имеется пустой элемент

Множества, принадлежащие системе $\Large T$ называются открытыми (почему так - читай эту заметку ниже).

Что такое и зачем надо

На основании следующего, можно сказать, что если раньше мы имели:

1. множество-носитель (или иначе "набор элементов")
2. и функцию-меру

(вместе они и составляют метрическое пространаство), то теперь у нас есть:

1. множесво-носитель
2. система подмножеств из множества-носителя, называемая топологией

- и вместе они образуют топологическое пространство.

Все множества из топологии произвольно ("насильно", не объясняя зачем, "искусственно" - возм. есть ещё более подходящее слово) называют открытыми.
Ну а дальше всё просто - все предыдущие определения справедливы, например - про окрестность, но как вы увидите по ссылке - дальше ссылкой является определение открытого множества (оно тут) - так вот теперь оно нам не нужно - в топологическом пространстве выделение топологии превично (курица первична, яйцо - то есть открытое множество - вторично)

Одна топология - одно топологическое пространство, две тополгии - два топологических пространства

На одном и том же множестве-носителе можно задать несколько топологий и это топологии можно сравнивать.