fkn+antitotal

Сжимающее отображение - отображение A некоторого пространства в себя. такое что существует некоторе число a

$\Large p(Ax, Ay) \leq a p(x, y)$

То есть при выполнении отображения расстояние между точками уменьшается ("сжимается") с некоторой "силой", которую и характеризует коэффициент a

Изометрия - биективное отображение из пространства в пространство при котором метрические связи между элементами сохраняются (хотя природа этих элементов может меняться) - то сохраняется "расстояние"

Подробнее см. здесь: http://fkn.ktu10.com/?q=node/6473

Биекция - отображение между множествами (пространствами), приводящее к взаимно однозначному соответствию, например:

Замыкание пространства (метрического) - в принципе тоже самое что замыкание множества, так как замыкание множества вообще говоря подразумевает некоторое понятии о расстоянии (в случае если мы говорим об "окрестности" - понятии необходимом для определения понятия предельной точки)

Пусть $R$ - метрическое пространство. Полное метрическое пространство $R^*$ называется пополнением пространства R, если:

1. $R$ является подпространством пространства $R^*$
2. $R$ всюду плотно в $R^*$, т.е. [R] = R*

где [R] - есть замыкание пространства R.

Теорема Бэра

Полное метрическое пространство R не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств

Задача

Привести пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нём, имеющих пустое пересечение.

Теорема о вложенных шарах

Для того, чтобы метрическое пространство $\Large R$, было полным необходимо и достаточо чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров , радиусы которых стремятся к нулю, имела непустую внутренность.

Стационарная последовательность - последовательность, в которой начиная с некоторого номера повторяется всё время одна и так же точка

Под "точкой" а абстрактном определении из "теории множеств" подразумевается обычно элемент множества - это может быть и геометрическая точка, и набор координат, и функция, набор функций или даже рота солдат - то есть, вообще говоря, любой (любого типа) элемент некоторого множества.