сайт о программировании

Рефлексивное отношение - такое бинарное отношение, в котором каждый элемент находится с данном отношении с самим собой.

Например отношение "=" (равно):
То есть:

a = a

Сравните например с отношением типа "больше"

Бинарное отношение -- это некоторое отношение (связь), в котором состоят два элемента,
при этом в общем случае подразумевается, что пара этих элементов упорядочена.

Например, есть отношение "больше" - пишут в виде:

а > b

Можно сказать что для отношения в отношении "больше" состоят элементы пары (a, b) - и здесь, как вы можете видеть, порядок элементов имеет значение, так как если мы запишем (b, a), то это будет значить уже обратное, а именно:

Мощность множества всех подмножеств натурального ряда равна мощности континуума.

Мощность континуума - мощность множества действительных (=вещественных) чисел.

Случай несравнимости мощностей двух множеств

Есть два множества (пусть непустых) - ни в одном из них нет части эквивалентной другому множеству.
Из теоремы Цермело следует, что такое невозможно.

Мощность множества - это то общее, что у есть у двух любых эквивалентных между собою множеств.

То есть - мощность это "как бы число элементов, но как бы и не число элементов" -в том смысле, что два бесконечных множества могут иметь равную мощность, хотя число элементов в них не определено.

Поэтому определение в начале данной заметки является наиболее правильным.

ПРИМЕЧАНИЯ:

Теорема Кантора-Бернштейна

формулировка:

Пусть есть два множества А и В.
Если можно взаимно однозначно отобразить всё множество А на часть множества В и при этом также можно взаимно однозначно отобразить всё множество В на часть множества А, то эти два множества (А и В) - эквивалентны.

Будем называть частью множества его подмножество - чтобы сделать формулировки более читаемыми (для простых смертных)

Два множества называются эквивалентными если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие

По книгам:

1. Уолтер Рудин - Функциональный анализ
2. Колмогоров, Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа