#9 Арифметические действия

$1$. Сложение. Понятие о том , что такое сложение,возникает из таких простых фактов , что оно не нуждается в определении и не может быть определено формально [Часто даются «определения» вроде таких: «cложение есть действие, посредством которого несколько чисел соединяются в одно», или «действие, посредством которого находится, сколько единиц содержится в нескольких числах вместе». Но тот, кто не знал бы, что значит «сложить» , не знал бы и что такое «соединить числа», так что все подобные «определения» сводятся лишь к замене одних слов другим].

Запись: $8+3=11$; $8$ и $3$ - слагаемые, $11$ - сумма.

$2$. Вычитание есть нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма получает название уменьшаемого, данное слагаемое -вычитаемого, искомое слагаемое - разности.
3апись: $15 - 7 = 8 $;$\ 15$ - уменьшаемое, $7$ - вычитаемое, $8$ - разность . Разность $8$, сложенная с вычитаемым $7$ дает уменьшаемое $15$. Сложение $8 + 7 = 15$ является проверкой вычитания $15 - 7 = 8$.

$3$. Умножение. Умножить некоторое число (множимое)на целое число (множитель) - значит повторить множимое слагаемым столько раз, сколько указывает множитель [об умножении на дробное число см пар.20]. Результат называется произведением.
3апись: $12 \cdot 5 = 60$; $12$ - множимое,$ 5$ - множитель, $60$ - произведение . $12 \cdot 5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 $.
Если множимое и множитель меняются ролями ,то произведение остается тем же .
Например, $2 \cdot 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10$ и $5 \cdot 2 = 5 + 5 = 10$ . Поэтому и множитель и множимое называется сомножителями.

$4$. Деление. есть нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение получает название делимого, данный сомножитель - делителя, искомый сомножитель - частного.
3апись: $48 \colon 6 = 8 $; $48$ - делимое, $6$ - делитель, $8$ - частное . Произведение делителя $6$ и частного $8$ дает делимое $48$ (проверка деления). Пишут также $\dfrac{48}{6} = 8$ (см. § 22).

Частное от деления одного целого числа на другое целое может не быть целым числом; тогда это частное можно представить дробью (II, § 16 ). Если частное есть целое число, то говорят, что первое из упомянутых чисел нацело делится или, короче, делится на второе.
Например , $35$ делится ( нацело) на $5$ , частное есть целое число $7$.

Второе число в этом случае называется делителем первого, первое же - кратным второго.
Пример $1$. $5$ есть делитель чисел $25$ , $60$, $80$ и не является кратным чисел $4$, $13$, $42$, $ 61$.
Пример $2$ . $60$ есть кратное чисел $15$, $20 $, $30$ и не является кратным чисел $17$, $40$, $90$.
Во многих случаях можно, не выполняя деления, узнать , делится ли нацело одно целое число на другое.
Об этом см. § 11.
В случае, когда делимое не делится нацело на делитель, иногда выполняют так называемое деление с остатком. Деление с остатком есть нахождение наибольшего целого числа , которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком; он всегда меньше делителя.
Пример $3$. $19$ не делится нацело на $5$. Числа $1,\ 2,\ 3$ в произведении с $5$ дают $5, \ 10,\ 15$, не превосходящие делимое $19$ , но уже $4$ дает в произведении с $5$ число $20$, большее, чем $19$. Поэтом у неполное частное есть $3$. Разность между $19$ и произведением $3 \cdot 5 = 15$ есть $19 - 15 = 4$; поэтому остаток есть $4$.

О делении на нуль см. § 23.

$5$. Возведение в степень. Возвести число в целую (вторую, третью, четвертую и т. д.) степень - значит повторить его сомножителем два , три, четыре и т. д. раз [о возведении в отрицательную, нулевую, дробную степени смотри III, § 61]. Число, повторяющееся сомножителем, называется основанием степени; число, указывающее, сколько раз берется одинаковый множитель, называется показателем степени. Результат называется степенью.
3апись: $34 = 81$; здесь $3$ - основание степени, $4$ - показатель степени, $81$ - степень; $34= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.
Вторая степень называетеcя иначе квадратом, третья степень - кубом. Первой степенью числа называют само это число.

$6$. Извлечение корня. Извлечение корня есть нахождение основания степени по степени и ее показателю. Данная степень получает название подкоренного числа, данный показатель - показателя корня, искомое основание степени называется корнем.
3апись: $\sqrt[4]{81}$. Здесь $81$ - подкоренное число, $4$ - показатель корня, $3$ - корень. Возведение числа $3$ в четвертую степень дает $81$; $3^{4} = 81$ (проверка извлечения корня).

Корень второй степени называется иначе квадратным; корень третьей степени - кубическим . При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: $\sqrt{16} = 4$ означает $\sqrt[2]{16} = 4$.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно являются обратными действиями.

Правила первых четырех действий с целыми числами предполагаются известными. Возведение в степень выполняется повторным умножением. Об извлечении корней см. §§ 44 и 44а.