Комментарий к теореме о циклах, составляющих одну и ту же подстановку

Primary tabs

JaKarta's picture
Submitted by JaKarta on Mon, 02/08/2016 - 16:21

Forums:

Подстановка $T$ имеет длину $n$. Рассматривается теорема, в которой говорится о том, что $T$ можно представить в виде произведения не пересекающихся циклов, различной (не обязательно) длины меньше $n$ таким образом, что будет справедлива сумма вида $$k+m+...+l=n$$
а в записи второй цикл сам по себе имеет длину $n$, что вижу некорректным.

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

  • Log in to post comments
  • 14652 reads
vedro-compota's picture

vedro-compota

Mon, 02/08/2016 - 16:32

Почему вы думаете, что подстановка $T$ имеет длину $n$ ?
В доказательстве написано, что:

Пусть подстановка $T\in\mathfrak{S}_n$ разложена на циклы:..

$\mathfrak{S}$ (готическая $S$) - это, насколько я понимаю, буква обозначающая группу, а вот почему там $n$...группа подстановок длины $n$ ? Уточню это. Если так, то да - ваше замечание верно, надо сменить индекс у группы.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

JaKarta's picture

JaKarta

Mon, 02/08/2016 - 16:39

я полагаю, что мы работаем в контексте того, что рассматриваем конечные группы.

vedro-compota's picture

vedro-compota

Mon, 02/08/2016 - 16:46

если вы подразумеваете, что $n$ -порядок группы, то это число не задаёт само по себе длину подстановки, оно лишь указывает на число подстановок в группе, так как $\mathfrak{S}_n$ - группа подстановок....длина каждой подстановки здесь явно окажется меньше $n$.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Mon, 02/08/2016 - 21:06

Да. Я использовал плохие обозначения.
Буква $n$ уже была занята для $\mathfrak{S}_n$.
Поэтому я заменю $(\alpha_1\ ...\ \alpha_m),\ (\beta_1 ... \beta_n)$ на

$$(\alpha_1\ ...\ \alpha_m),\ (\beta_1 ... \beta_l)$$.

vedro-compota's picture

vedro-compota

Mon, 02/08/2016 - 21:45

так $n$ - это что? порядок группы?
длина подстановки, понял (ниже прочитал)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Mon, 02/08/2016 - 21:27

Утверждаем, что $T$ можно представить в виде произведения не пересекающихся циклов, различной (не обязательно) длины меньше $n$ таким образом, что будет справедлива сумма вида $k+m+...+l=n$
а в записи второй цикл сам по себе имеет длину $n$, что вижу некорректным

Мы это не просто утверждаем. У нас есть алгоритм для нахождения циклов.
Далее мы доказываем, что произведение этих циклов даёт нам исходную подстановку $T$.

Букву $n$ я использовал дважды по невнимательности.

Ясно, что когда мы пишем
$$
T=(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)(\beta_1 ... \beta_l)\ ...\ (\gamma_1\ ...\ \gamma_k),
$$
то имеем в виду $m+l+\ ...\ +k=n$.

Тем не менее, эта запись не означает, что $T$ не может состоять, например, из одного цикла, длина которого равна $n$.

vedro-compota's picture

vedro-compota

Mon, 02/08/2016 - 23:21

можем ли мы в той теореме рассматривать подстановки заданные на бесконечном множестве, но разбиваемые на конечные циклы?

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Tue, 02/09/2016 - 09:01

У нас есть
Теорема. Если два цикла не содержат общих элементов, то они перестановочны.
Можно переписать её доказательство, заменив $\{1,\ ...,\ n\}$ на бесконечное множество.

Но подстановка бесконечного множества может состоять из бесконечного числа конечных циклов. В этом случае нельзя сказать, что она является произведением своих циклов.
Алгебраические операции у нас опеределены только для конечного числа элементов.

vedro-compota's picture

vedro-compota

Tue, 02/09/2016 - 13:46

вас понял. спасибо)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)