Diffiety School

Устав семинара "Современные методы топологии и геометрии"

• 1) Обсуждается то, что было прочитано; если что-то представляется неясным, то задаются вопросы (в т. ч. онлайн).
• 2) Обсуждаются задачи, которые должны быть решены.
• 3) Озвучивается, какие страницы необходимо прочесть к следующему разу, и какие задачи - решить.

[видео 2015 см. здесь]

Коммутативная алгебра и её спектр

Из Неструева нужно разобрать спектральную теорему - что спектр гладкой функции совпадает с многообразием и т.д. - дать определение и сформулировать эти факты.

Считая, что основные факты из Неструева и определение гладкого многообразия известны, продолжим.

В нулевой части будет все что касается спектральной теоремы. В Неструеве ещё есть определение векторных полей, с объяснением, подкреплённым принципом наблюдаемости.

При доказательстве теоремы о перестановочности циклов доказательство опирается на упрощенный случай, в котором рассматриваются два цикла.
То есть происходит логичный переход от частного к общему.

Подстановка $T$ имеет длину $n$. Рассматривается теорема, в которой говорится о том, что $T$ можно представить в виде произведения не пересекающихся циклов, различной (не обязательно) длины меньше $n$ таким образом, что будет справедлива сумма вида $$k+m+...+l=n$$
а в записи второй цикл сам по себе имеет длину $n$, что вижу некорректным.

Ниже требуется найти ошибку в рассуждении.

Рассмотрим $m$-членный цикл $(1, 2, 3, ... m)$, он представляет собой подстановку, увеличивающую каждое кроме $m$ число на единицу, а само $m$ переводящую в единицу, если не учитывать $m$ и другие числа ему кратные (его кратности), то можно записать, что:
$$x \rightarrow x + 1 (mod \; m)$$
в последней формуле использована операция $mod$ (получения остатка от деления на m).

Предлагаю обсудить доказательство здесь. а потом уже я перенесу его туда.

Прошу ещё раз показать идею доказательства утверждения:

Доказать, что циклы, составлющие одну и ту же подстановку, перестановочны

Я начал его так:

В математике бинарное отношение $R$ на множестве $X$ называется транзитивным, если для любых трёх элементов $a, b, c \in X$ выполнение отношений $a R b$ и $b R c$ влечёт выполнение отношения $a R c$.
Формально, отношение $R$ транзитивно, если $\forall a, b, c \in X,\ a R b \land b R c \Rightarrow a R c$.

Что значит, что два числа $i$, $j$ принадлежат одному и тому же циклу? Это значит, что существует такой $s\in\mathbb{Z}$, $s\ge 0$, что $(i)A^s=j$, то есть мы можем придти к от $i$ к $j$ применяя несколько раз подстановку $A$.

Упражнение 4. Можно показать, что всякая перестановка может быть представлена в виде композиции циклов.
Покажем теперь, что циклы, составляющие одну и ту же подстановку (то есть лишённые общих цифр) перестановочны.

Доказательство:

Рассматривается здесь.