§23.2 Биортогональные (взаимные) базисы.

В дальнейшем мы будем значение линейной функции $f$ в точке $x$ обозначать через $(f, x)$. Таким образом каждой паре $f \in R'$ и $ x \in R$ отнесено число $ (f, x),$ причем
1° $(f, x_1 + x_2) = (f, x_1) ,+ (f, x_2), \\
2° (f, \lambda x) = \lambda (f, x), \\
3° (\lambda f, x) = \lambda (f, x), \\
4° (f_1 + f_2, x) = (f_1, x) + (f_2, x). $
Первое и второе из этих соотношений - это записанные в новых обозначениях равенства
$$ f(x_1 + x_2) = f (x_1) + f(x_2) \text{и} f(\lambda x) = \lambda f (x), $$
являющиеся определением линейной функции, а третье и четвертое - определения произведения линейной функции на число и суммы линейных функций. Соотношения 1°-4° напоминают аксиомы скалярного произведения. Надо лишь подчеркнуть, что в то время, как скалярное произведение есть число, отнесенные паре векторов одного и того же (евклидова) пространства, $(f, x)$ есть число, отнесенные паре векторов, один из которых принадлежит аффинному пространству $R$, а другой - аффинному пространству $ R'.$

Векторы $ x \in R$ и $ f \in R'$ мы назовем ортогональными, если
$$ (f, x) = 0.$$

Таким образом, хотя в аффинному пространстве $ R$ ( в отличие от евклидова) нет понятия пюортогональности двух векторов $x, y\in R,$ можно говорить об ортогональности векторов из $R$ к векторам из $R'$.

Определение 2. Пусть $ e_1, e_2, ..., e_n$ - базис в $R$, а $ f^1, f^2, ..., f^n$ - базис в $ R'$. Мы назовем эти базисы биортогональными (взаимными), если
$$ (f^i, e_k) = 1 \text{при} i = k \\
\qquad \qquad 0 \text{при} i ≠ k \qquad (3)$$
$i, k = 1,2 ...n).$
Введем символ $ \zeta_k^i,$ положив
$$ \zeta_k^i = 1 \text{при} i =k \\
\zeta_k^i = 0 \text{при} i≠k$$
Тогда $$ (f^i, e_k) = \zeta_k^i.$$

Если $e_1, e_2, .., e_n$ - базис в $R,$ то $(f, e_k)$ являются числами $a_k,$ определяющими линейную функцию $f \in R'$, так как $(f, e_k)$ есть другая форма записи выражения $f (e_k).$

Из этого замечания следует утверждение:
если $e_1, e_2, ..., e_n$ - произвольный базис в $R,$ то в $ R'$ существует, и притом только один базис $ f^1, f^2, ..., f^n$ такой, что базисы $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ f^1, f^2, ..., f^n$ биортогональны (взаимны).
Действительно, имеем
$$ (f^1, e_1) = 1, (f^1, e_2) = 0, ..., (f^1, e_n) = 0.$$
Таким образом, здесь заданы числа $ a_1 = 1, a_2 = 0, ..., a_n = 0.$ Так как по всяким числам $a_i$ можно построить единственную линейную функцию, то $f^1$ определено, и при этом однозначно. Аналогично определяется $ f^2$ равенствами
$$ (f^2, e_1) = 0, (f^2, e_2) = 1, ..., (f^2, e_n) = 0$$
и т. д. Построенные векторы $ f^1, f^2, ..., f^n$ из $R'$ (линейные функции) линейно независимы, так как отвечающие каждому из них системы чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ линейно независимы между собой. Мы построили, таким образом, базис, биортогональные базису $ e_1, e_2, ..., e_n$, и доказали его единственность.

В дальнейшем мы будем пользоваться принятыми в тензорном исчислении обозначениями, а именно, если в некотором выражении один и тот же индекс стоит один раз вверху, а другой внизу, то это означает, что по этому индексу производится суммирование $( 1 - n).$ Сам знак суммирования $\sum$ мы при этом будем опускать.
Например $ \xi^i \eta_i, $ означает $ \xi^1 \eta_1 + \xi^2 \eta_2 + ... + \xi^n \eta_n.$

Имея $R$ и $R'$ биортогональные базисы, легко вычислить координаты любого вектора. Пусть $ e_i$ и $ f^k$ - биортогональные базисы. Найдем координаты $ \xi^i$ вектора $ x \in R$ в базисе $ e_i.$ Мы имеем
$$ x = \xi^i e_i.$$
Отсюда
$$ (f^k, x) = (f^k, \xi^i e_i) = \xi^i (f^k, e_i) = \xi^i \zeta_i^k = \xi^k.$$
Следовательно, координаты $ \xi^k$ вектора $x$ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n$ вычисляются по формулам
$$ \xi^k = (f^k, x), $$
где $ f^k$-базис, взаимный с базисом $e_i$.

Аналогично получаем, что координаты $ \eta_i$ вектора $f$ в базисе $ f^k$ вычисляются по формулам
$$ \eta_i = (f, e_i)$$.
Пусть $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ f^1, f^2, ..., f^n$ - два взаимных биортогональные базиса. Выразим величину $(f, x)$ через координаты векторов $f$ и $x$ в базисах $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ f^1, f^2, ..., f^n$ соответственно. Пусть
$$ x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 + ... + \xi^n e_n \\
f= \eta_1 f^1 + \eta_2 f^2 + ... + \eta_n f^n;$$
Тогда
$$ (f, x) = (\eta_1 f^1 + \eta_2 f^2 + ... + \eta_n f^n, \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 + ... + \xi^n e_n) = \\
= (f^i, e_k) \eta_i \xi^k = \zeta_k^i \eta_i \xi^k = \eta_i \xi^i.$$

Итак, если $ e_1, e_2, ..., e_n$-базис в $ R, f^1, f^2, ..., f^n$ - взаимный с ним базис в $ R', $ то
$$ (f, x) = \eta_1 \xi^1 + \eta_2 \xi^2 + ... + \eta_n \xi^n, \qquad (4)$$
где $ \xi^1, \xi^2, ..., \xi^n$- координаты вектора $ x \in R$ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n$, а $ \eta_1 , \eta_2, ..., \eta_n$ - координаты вектора $ f \in R'$ в базисе $ f^1, f^2, ..., f^n.$

Замечание. Если $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ f^1, f^2, ..., f^n$-произвольные базисы в $ R$ и $ R'$ соответственно, то
$$ (f, x) = a_k^i \eta_i \xi^k,$$
где $ a_k^i = (f^i, e_k).$
Мы видим, что во взаимных базисах значение $(f, x)$ записываются особенно просто.

Итак, мы построили соответствие, относящиеся каждому линейному пространству $R$ другое пространство, а именно сопряженное пространство $R'$. Мы можем теперь установить соответствие и между линейным преобразованием пространств.

Пусть $ R_1, R_2$-два линейных пространства и $ R_1', R_2'-$ пространства, им сопряженным. Каждому линейному преобразованию $A$ пространства $ R_1$ в $R_2$ мы поставим в соответствие линейное преобразование $A'$ пространства $R_2'$ в $R_1'$ которое определим следующим образом.

Пусть $ f_2 \in R_2', x_1 \in R_1.$ Рассмотрим $(f_1, Ax_1);$ при фиксированном $f_2$ это линейная функция от $x_1,$ т. е. может быть записана в виде $ (f_2, Ax_1) = (f_1, x_1),$ где $ f_1 \in R_1'.$ Положим по определению $ f_1 = A' f_2.$ Получаемое преобразование $A'$ называется сопряженным к $A.$ Итак, если $A$ - линейное преобразование пространства $R_1$ в $R_2$, то сопряженное ему преобразование есть линейное преобразование $A'$ пространства $ R_2'$ в $R_1',$ задаваемое тождеством
$$ (A' f_2, x_1) = (f_2, Ax_1).$$

Установим одно важное свойство операции перехода к сопряженному преобразованию. Пусть $A$- линейное преобразование пространства $R_1$ в $R_2$, $B$ - линейное преобразование пространства $ R_2$ в $R_3$. Обозначим через $BA$ композицию этих преобразований, т. е. линейное преобразование пространства $R_1$ в $R_3$ (по определению $BAx = B (Ax)$ для любого $x \in R_1).$
Покажем, что
$$ (BA)' = A' B'.$$
В самом деле, согласно определению имеем:
$ ((BA)' f, x) = (f, BAx) $ для любых $ x \in R, f \in R_3'$.
С другой стороны, $ (A' B' f,x) = (B' f, Ax) = (f, BAx).$ Сопоставляя эти равенства мы видим, что $ (BA)' = A' B'.$

Упражнение Доказать, что линейное преобразование, сопряженное к $A'$, есть $A.$