6 ноября 2014 четверг - Современные методы алгебры и топологии - Матфак ВГУ

--------------------------------6 ноября 2014 четверг------------------------------
Сегодня у нас стандартные вещи из алгебры.

Мы должны разобраться с важным классом подколец , а именно - с идеалами. Мы уже обсуждали что такое кольцо.
Примеры: множество целых чисел с операциями сложения и умножения.

Почему кольцо называется кольцом?

Дело в том , что по каждой операции, которая у нас есть в кольце – по умножению, например это полугруппа (если есть ассоциативность). По умножению кольцо не обязано быть группой.
Смысл названия – только одна гипотеза…..есть два закона дистрибутивности – они связывают две операции в кольце – это закон вынесения общего множителя за скобки, этот закон связывает две операции воедино – то есть закон дистрибутивности как бы образует «кольцевую» структуру из операций.

А при чём тут поле? Почему поле называется полем? Видимо из-за того, что все известные нам разумные операции допустимы.
Поля бывают вещественными и комплексными. Есть ещё и другие. Есть целый раздел математики – теория полей.

В кольцах меньше требований чем в полях – то есть это более широкий объект. Подкольцо – это подгруппа.
В группах выделяются специального вида нормальные подгруппы. В кольцах же выделяют специального вида подкольца, которые называют идеалами.

Без этого понятия сегодня нельзя заниматься ни алгеброй, ни анализом и диф. уравнениями.
Пусть $\Large R$ - кольцо. $\Large (R, +, *)$ - есть множество и две какие-то операции.
Пусть $\Large J$ – подкольцо, в $\Large R$, обладающее дополнительным свойством:
$\Large \forall r \in R \; , \forall a \in J \; : r a \in J $ (здесь элемент кольца записан слева в произведении – то есть дано определение так называемого «левого» идеала)

Или определение правого идеала:

$\Large \forall r \in R \; , \forall a \in J \; : a r \ in J$ (правый идеал)

Пока мы не сказали, что кольцо $\Large R$ коммутативно нам следует различать правый и левый идеал. Коммутативность тут требуется именно по умножению - так как операция сложения заранее предполагается коммутативной.

Если мы берем любой элемент из кольца и подкольца, то их произведение «втянется» в подкольцо. В этом смысле идеал как будто «притягивает» - может потому идеал и называется идеалом.

Произведение же двух элементов из подкольца должны остаться в подкольце. Простейший случай - возьмём кольцо целых чисел и подкольцо чётных чисел. Произведение на чётное число всегда будет чётным.
Пример:
$\Large R = Z$
$\Large J = 2Z = {2k | k} $
См. рис. 2

– множество элементов вида $\Large 2k$, таких что (“таких что ”= вертикальной черте, на месте неё в принципе может стоять двоеточие) $\Large k$ является целым числом.

Всё кольцо по определению не называется идеалом. Это позволяет легче рассуждать в доказательствах.

Есть ещё один важный пример кольца - кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами из $\Large \mathbb{R}$
$\Large R = R[x]$
$\Large f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_{n-1}x + a_n$
$\Large a_i \in R \; \forall i = 0 …n$
$\Large f(x) (a_0, a_1,…….. a_{n-1}, a_n)$

Зададим подкольцо таким образом (1):
$\Large J = \{ g(x)h(x) \; | \; h(x) \in R[x] \} - h(x)$ пробегает все кольца из R
$\Large g(x) \in R[x] $ - $\Large g(x) $ это фиксированный элемент в R[x]

Обозначение R[x] – означает, что многочлен имеет вещественные коэффициенты.

Пример:
пусть $\Large g(x) = x^2 + 1$
$\Large J = { (x^2 + 1) h(x) | h(x) \in R[x] }$

Двусторонний идеал

Подкольцо $\Large J$ в кольце $\Large R$ называется двусторонним идеалом, если $\Large J$ одновременно является левым и правым идеалом.

То есть :
$\Large \forall r_1, r_2 \in R \; \forall a \in J$
$\Large r_1 a r_2 \in J$
В общем виде «втягивание» в идеал можно записать так:
$\Large RJ \subset J$

Ещё пример - пусть у нас есть кольцо функций
$\Large R ={f: A \rightarrow R}$
$\Large A \subset \mathbb{R}$ (подмножество вещественных чисел)
Единица в этом кольце есть, причём: $\Large 1_R = f: A \rightarrow R$
$\Large f(x) = 1 \; \forall x \in A$
$\Large x_0 \in A$
$\Large J = \{ \; f \in R \; |\; f(x_0) = 0 \; \}$
Далее (3):

В следующий раз мы будем разбирать фактор-группы и фактор-кольца.