Ассоциативность композиции преобразований - доказательство

Пусть у нас есть три преобразования $A, B$ и $С$ из некоторого множества $\mathfrak{P}$ преобразований множества $\mathcal{M}$ и введёна операция композиции преобразований $*$, покажем, что справедливо равенство:

$$ (A * B) * C = A * (B * C), \;\;\; \forall A, B, C \in \mathfrak{P}$$
или, если опустить знак композиции:
$$ (AB)C = A(BC), \;\;\; \forall A, B, C \in \mathfrak{P} $$
или - ещё точнее (укажем что преобразуются элементы из $\mathcal{M}$, используя левостороннюю запись):
$$ (m)(AB)C = (m)A(BC), \;\;\; \forall A, B, C \in \mathfrak{P}, \;\;\; \forall m \in \mathcal{M} ;\; (1)$$

Доказательство:

Используя определение композиции преобразований, просто перепишем правую и левую стороны равенства (1) - опять же с использованием левостронней формы записи преобразования:
$(m)(AB)C = ((m)AB)C = (((m)A)B)C$
и
$(m)A(BC) = ((m)A)(BC) = (((m)A)B)C$

То есть, действительно: $ (A * B) * C = A * (B * C), \;\;\; \forall A, B, C \in \mathfrak{P}$