упр.7 - Идея решения.

Упражнение 7.

Доказать следующее: чтобы убедиться, что некоторая совокупность элементов конечной группы составляет группу, достаточно показать, что произведение любых двух элементов этой совокупности тоже принадлежит этой совокупности (дело сводится к проверке аксиом 3 и 4).

Решение.
Рассмотрим конечную совокупность элементов $ \mathfrak{G}=(A_1,A_2,\ldots,A_n) $.
Следует проверить эту совокупность на соответствие формальному определению группы.
Возьмем два произвольных элемента $ A_i $, $ A_j\in\mathfrak{G}$. При умножении этим элементам, взятым в определенном порядке, сопоставляется третий: $$A_iA_j=A_k $$
Для удобства переобозначим элементы: $A_i=A$, $A_j=B$, $A_k=C$.
Тогда запишем композицию в виде $AB=C$.
Эта композиция должна удовлетворять групповым аксиомам.
Рассмотрим все возможные варианты того, каков будет результат композиции:

$ AB=C\notin\mathfrak{G} $ - нарушена первая аксиома, данная совокупность не является группой;
$ AB=C\in\mathfrak{G} $ - выполнена аксиома 1;
$ AB=A\in\mathfrak{G} $ - в этом случае $B=J$, выполнена аксиома 3;
$ AB=J\in\mathfrak{G} $ - $ B $ является правым обратным элементом к $ A $, выполняется аксиома 4.

Таким образом, можно увидеть, что совокупность элементов является группой, если произведение любых двух элементов этой совокупности удовлетворяет акиомам группы.