Симметрические группы - определение 2

[краткое определение симметрической группы здесь]

Из $n$ цифр $1, 2, ..., n$ можно образовать $n!$ различных перестановок. Пусть $\alpha_1, \alpha_2,...\alpha_n$ будет одна из этих перестановок.

Построим соответствующую ей подстановку:
$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & ... & n\\
\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & ... & \alpha_n
\end{pmatrix}$
Различным перестановкам будут соответствовать различные подстановки. Таким образом мы получим всего $n!$ различных подстановок, которые очевидно образуют группу (см. док-во).
Эта группа носит название симметрической группы из $n$ цифр или симметрической группы $n$-ой степени и обозначается так: $\mathfrak{S}_n$.

Рассмотрим произвольную группу подстановок $n$-ой степени (т. е. из $n$ цифр). Она является делителем симметрической группы $n$-ой степени, а потому в силу теоремы 7 (Лагранжа) ее порядок есть делитель числа $n!$

Таким образом мы приходим к Теореме 9.